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13.設(shè)點P(m,n)在圓x2+y2=2上,l是過點P的圓的切線,切線l與函數(shù)y=x2+x+k(k∈R)的圖象交于A,B兩點,點O是坐標原點.
(I)若k=-2,點P恰好是線段AB的中點,求點P的坐標;
(Ⅱ)是否存在實數(shù)k,使得以AB為底邊的等腰△OAB恰有三個?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,說明理由.

分析 (I)由圓的切線的性質(zhì)可得切線的方程,代入拋物線的方程,運用韋達定理和判別式大于0,結(jié)合中點坐標公式,解方程可得P的坐標;
(Ⅱ)假設(shè)存在實數(shù)k,使得以AB為底邊的等腰△OAB恰有三個.即有P為AB的中點,且OP⊥AB,即l是圓的切線,且AB的中點為切點.聯(lián)立切線的方程和拋物線的方程,運用判別式大于0,結(jié)合(I)的三個點,代入判別式,即可得到所求k的范圍.

解答 解:(I)由題意可得m2+n2=2,
由切線的性質(zhì)可得l的斜率為-mn,
可得切線的方程為mx+ny=2,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
聯(lián)立曲線方程y=x2+x-2,可得nx2+(n+m)x-2n-2=0,
即有x1+x2=-n+mn
由點P恰好是線段AB的中點,可得-n+mn=2m,
即有n+m+2mn=0,又m2+n2=2,
解得{m=1n=1{m=132n=1+32{m=1+32n=132
代入△=(n+m)2+4n(2n+2)>0,可得
P的坐標為(-1,-1),或(132,1+32);
(Ⅱ)假設(shè)存在實數(shù)k,使得以AB為底邊的等腰△OAB恰有三個.
即有P為AB的中點,且OP⊥AB,即l是圓的切線,且AB的中點為切點.
{mx+ny=2y=x2+x+k,可得nx2+(n+m)x+kn-2=0,
同(I)解得{m=1n=1{m=132n=1+32{m=1+32n=132
滿足△=(n+m)2-4n(kn-2)>0,即有k<1+mn+4n2n2,
代入點的坐標可得{k1k1+332k1332,
即有k的范圍是k<-1-332
綜上可得,存在k<-1-332,使得以AB為底邊的等腰△OAB恰有三個.

點評 本題考查圓的切線與拋物線的位置關(guān)系,考查直線方程和拋物線的方程聯(lián)立,運用韋達定理和判別式,考查化簡整理的運算能力,屬于中檔題.

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