分析 (I)由圓的切線的性質(zhì)可得切線的方程,代入拋物線的方程,運用韋達定理和判別式大于0,結(jié)合中點坐標公式,解方程可得P的坐標;
(Ⅱ)假設(shè)存在實數(shù)k,使得以AB為底邊的等腰△OAB恰有三個.即有P為AB的中點,且OP⊥AB,即l是圓的切線,且AB的中點為切點.聯(lián)立切線的方程和拋物線的方程,運用判別式大于0,結(jié)合(I)的三個點,代入判別式,即可得到所求k的范圍.
解答 解:(I)由題意可得m2+n2=2,
由切線的性質(zhì)可得l的斜率為-mn,
可得切線的方程為mx+ny=2,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
聯(lián)立曲線方程y=x2+x-2,可得nx2+(n+m)x-2n-2=0,
即有x1+x2=-n+mn,
由點P恰好是線段AB的中點,可得-n+mn=2m,
即有n+m+2mn=0,又m2+n2=2,
解得{m=−1n=−1或{m=1−√32n=1+√32或{m=1+√32n=1−√32.
代入△=(n+m)2+4n(2n+2)>0,可得
P的坐標為(-1,-1),或(1−√32,1+√32);
(Ⅱ)假設(shè)存在實數(shù)k,使得以AB為底邊的等腰△OAB恰有三個.
即有P為AB的中點,且OP⊥AB,即l是圓的切線,且AB的中點為切點.
由{mx+ny=2y=x2+x+k,可得nx2+(n+m)x+kn-2=0,
同(I)解得{m=−1n=−1或{m=1−√32n=1+√32或{m=1+√32n=1−√32.
滿足△=(n+m)2-4n(kn-2)>0,即有k<1+mn+4n2n2,
代入點的坐標可得{k<−1k<−1+3√32k<−1−3√32,
即有k的范圍是k<-1-3√32.
綜上可得,存在k<-1-3√32,使得以AB為底邊的等腰△OAB恰有三個.
點評 本題考查圓的切線與拋物線的位置關(guān)系,考查直線方程和拋物線的方程聯(lián)立,運用韋達定理和判別式,考查化簡整理的運算能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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