Question

13．設(shè)點P（m，n）在圓x²+y²=2上，l是過點P的圓的切線，切線l與函數(shù)y=x²+x+k（k∈R）的圖象交于A，B兩點，點O是坐標原點．
（I）若k=-2，點P恰好是線段AB的中點，求點P的坐標；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)k，使得以AB為底邊的等腰△OAB恰有三個？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （I）由圓的切線的性質(zhì)可得切線的方程，代入拋物線的方程，運用韋達定理和判別式大于0，結(jié)合中點坐標公式，解方程可得P的坐標；
（Ⅱ）假設(shè)存在實數(shù)k，使得以AB為底邊的等腰△OAB恰有三個．即有P為AB的中點，且OP⊥AB，即l是圓的切線，且AB的中點為切點．聯(lián)立切線的方程和拋物線的方程，運用判別式大于0，結(jié)合（I）的三個點，代入判別式，即可得到所求k的范圍．

解答 解：（I）由題意可得m²+n²=2，
由切線的性質(zhì)可得l的斜率為-$\frac{m}{n}$，
可得切線的方程為mx+ny=2，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立曲線方程y=x²+x-2，可得nx²+（n+m）x-2n-2=0，
即有x₁+x₂=-$\frac{n+m}{n}$，
由點P恰好是線段AB的中點，可得-$\frac{n+m}{n}$=2m，
即有n+m+2mn=0，又m²+n²=2，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1-\sqrt{3}}{2}}\\{n=\frac{1+\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1+\sqrt{3}}{2}}\\{n=\frac{1-\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$．
代入△=（n+m）²+4n（2n+2）＞0，可得
P的坐標為（-1，-1），或（$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$）；
（Ⅱ）假設(shè)存在實數(shù)k，使得以AB為底邊的等腰△OAB恰有三個．
即有P為AB的中點，且OP⊥AB，即l是圓的切線，且AB的中點為切點．
由$\left\{\begin{array}{l}{mx+ny=2}\\{y={x}^{2}+x+k}\end{array}\right.$，可得nx²+（n+m）x+kn-2=0，
同（I）解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1-\sqrt{3}}{2}}\\{n=\frac{1+\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1+\sqrt{3}}{2}}\\{n=\frac{1-\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$．
滿足△=（n+m）²-4n（kn-2）＞0，即有k＜$\frac{1+mn+4n}{2{n}^{2}}$，
代入點的坐標可得$\left\{\begin{array}{l}{k＜-1}\\{k＜-1+\frac{3\sqrt{3}}{2}}\\{k＜-1-\frac{3\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
即有k的范圍是k＜-1-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
綜上可得，存在k＜-1-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，使得以AB為底邊的等腰△OAB恰有三個．

點評 本題考查圓的切線與拋物線的位置關(guān)系，考查直線方程和拋物線的方程聯(lián)立，運用韋達定理和判別式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．