Question

11．如圖，在三棱錐A-BCD中，AB=AC=AD=BC=CD=4，BD=4$\sqrt{2}$，E，F分別為AC，CD的中點，G為線段BD上一點，且BE∥平面AGF．
（Ⅰ）求BG的長；
（Ⅱ）當直線BE∥平面AGF時，求四棱錐A-BCFG的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連DE交AF于M，得到M為△ACD的重心，證明BE∥GM，然后求解BG的長．
（Ⅱ）取BD的中點為O，連AO，CO證明AO⊥平面BCD，然后求解幾何體的體積．

解答 解：（Ⅰ）連DE交AF于M，則M為△ACD的重心，且$\frac{DM}{ME}=\frac{2}{1}$
∵BE∥平面AGF，∴BE∥GM，$\frac{DG}{BG}=\frac{2}{1}$
∴$BG=\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$…（6分）
（Ⅱ）取BD的中點為O，連AO，CO，則$AO=CO=2\sqrt{2}$，∴AO⊥OC，AO⊥BD，從而AO⊥平面BCD
∴$V_{A-BCD}^{\;}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4×2\sqrt{2}=\frac{{16\sqrt{2}}}{3}$，
∴${V_{A-FDG}}=\frac{1}{3}{V_{A-BCD}}$，
從而${V_{A-BCFG}}=\frac{2}{3}{V_{A-BCD}}$=$\frac{{32\sqrt{2}}}{9}$．…（12分）

點評 本題考查幾何體的體積的求法，空間點線面的距離，考查空間想象能力以及計算能力．