Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R，若|f（x）|≤|x|對一切實數(shù)x均成立，則稱函數(shù)f（x）為Ω函數(shù)．
（Ⅰ）試判斷函數(shù)f₁（x）=xsinx、f₂（x）=

e-x

ex+1

和f₃（x）=

x2

x2+1

中哪些是Ω函數(shù)，并說明理由；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足對一切實數(shù)x₁、x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，求證：函數(shù)f（x）一定是Ω函數(shù)；
（Ⅲ）求證：若a＞0，則函數(shù)f（x）=ln（x²+a）-lna是Ω函數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)所給新定義，依次判斷函數(shù)|f₁（x）|≤|x|，|f₂（x）|≤|x|，|f₃（x）|≤|x|是否對一切實數(shù)x均成立，若成立，則為Ω函數(shù)，從而得到答案；
（Ⅱ）根據(jù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，則f（0）=0，對一切實數(shù)x₁、x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，令x₁=x，x₂=0可得結(jié)論；
（Ⅲ）令g（x）=|f（x）|-|x|=f（x）-|x|，當(dāng)x≥0時，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)得到g（x）在[0，+∞）上為減函數(shù)；當(dāng)x＜0時，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)得到g（x）在（-∞，0）為增函數(shù)，故g（x）在x=0處取得極大值，同時也為最大值．由此能夠證明函數(shù)f（x）=ln（x²+a）-lna是Ω函數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）對于f₁（x）=xsinx，
∵sinx∈[-1，1]，則|sinx|≤1，
∴|x||sinx|≤|x|，即|xsinx|≤|x|，
∴|f₁（x）|≤|x|對一切實數(shù)均成立，
故函數(shù)f₁（x）=xsinx是Ω函數(shù)；
對于f₂（x）=

e-x

ex+1

，當(dāng)x=0時，f₂（x）=

e0

e0+1

=

1

2

，此時|f₃（0）|＞|0|，
∴|f（x）|≤|x|對一切實數(shù)x不均成立，
故函數(shù)f₂（x）=

e-x

ex+1

不是Ω函數(shù)；
對于f₃（x）=

x2

x2+1

，|f₃（x）|≤|x|對一切實數(shù)x均成立，即|

x

x2+1

|≤1對一切實數(shù)x均成立，
當(dāng)x=0時，不等式恒成立，
當(dāng)x≠0時，y=

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

，
∵x+

1

x

≤-2或x+

1

x

≥2，
∴-

1

2

≤

1

x+ 1 x

＜0或0＜

1

x+ 1 x

≤

1

2

，
∴|

x

x2+1

|≤

1

2

≤1，
∴|f₃（x）|≤|x|對一切實數(shù)x均成立，
故函數(shù)f₃（x）=

x2

x2+1

是Ω函數(shù)．
綜上，函數(shù)f₁（x）=xsinx，f₃（x）=

x2

x2+1

是Ω函數(shù)．
（Ⅱ）∵函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
∵對一切實數(shù)x₁、x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，
∴令x₁=x，x₂=0得|f（x）-f（0）|≤|x-0|，
即|f（x）|≤|x|對一切實數(shù)x均成立，
∴函數(shù)f（x）一定是Ω函數(shù)；
（Ⅲ）證明：由題意可知f（x）的定義域為R，
∵f（x）=ln（x²+a）-lna=ln（

x2

a

+1），a＞0，
∴

x2

a

+1＞1，f（x）＞0，則|f（x）|=f（x），
令g（x）=|f（x）|-|x|=f（x）-|x|
∴當(dāng)x≥0時，g（x）=f（x）-x，g′（x）=f′（x）-1=

2x

x2+a

-1=

(x-1)2+1-a

x2+a

＜0．
∴g（x）在[0，+∞）上為減函數(shù)；
當(dāng)x＜0時，g（x）=f（x）+x，g′（x）=f′（x）+1=

2x

x2+a

+1=

(x+1)2-1+a

x2+a

＞0，
∴g（x）在（-∞，0）為增函數(shù)，
∴g（x）在x=0處取得極大值，同時也為最大值，
∴g（x）≤g（0）=lna-lna=0，
即|f（x）|-|x|≤0在x∈R恒成立，即|f（x）|≤|x|在x∈R恒成立．
∴函數(shù)f（x）=ln（x²+a）-lna是Ω函數(shù)．

點評：本題新定義問題，對于新定義問題，解題時要抓住所給的定義進行解題，將問題轉(zhuǎn)化成所學(xué)知識的考查．本題考查函數(shù)的恒成立問題以及利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的最值問題，對于函數(shù)的恒成立問題，一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合法進行求解．本題考查了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，綜合性強，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，難度大．屬于難題．