Question

從數(shù)列{a_n}中取出部分項(xiàng)，并將它們按原來的順序組成一個(gè)數(shù)列，稱之為數(shù)列{a_n}的一個(gè)子數(shù)列．

設(shè)數(shù)列{a_n}是一個(gè)首項(xiàng)為a₁、公差為d(d≠0)的無窮等差數(shù)列．

(1)若a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，求其公比q．

(2)若a₁＝7d，從數(shù)列{a_n}中取出第2項(xiàng)、第6項(xiàng)作為一個(gè)等比數(shù)列的第1項(xiàng)、第2項(xiàng)，試問該數(shù)列是否為{a_n}的無窮等比子數(shù)列，請(qǐng)說明理由．

(3)若a₁＝1，從數(shù)列{a_n}中取出第1項(xiàng)、第m(m≥2)項(xiàng)(設(shè)a_m＝t)作為一個(gè)等比數(shù)列的第1項(xiàng)、第2項(xiàng)，試問當(dāng)且僅當(dāng)t為何值時(shí)，該數(shù)列為{a_n}的無窮等比子數(shù)列，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由題設(shè)，得，即，得，又，于是，故其公比．(4分) 　　(2)設(shè)等比數(shù)列為，其公比，，(6分) 　　由題設(shè)． 　　假設(shè)數(shù)列為的無窮等比子數(shù)列，則對(duì)任意自然數(shù)，都存在，使，即，得，(8分) 　　當(dāng)時(shí)，，與假設(shè)矛盾，故該數(shù)列不為的無窮等比子數(shù)列．(10分) 　　(3)①設(shè)的無窮等比子數(shù)列為，其公比()，得，由題設(shè)，在等差數(shù)列中，，，因?yàn)閿?shù)列為的無窮等比子數(shù)列，所以對(duì)任意自然數(shù)，都存在，使，即，得，由于上式對(duì)任意大于等于的正整數(shù)都成立，且，均為正整數(shù)，可知必為正整數(shù)，又，故是大于1的正整數(shù)．(14分) ②再證明：若是大于1的正整數(shù)，則數(shù)列存在無窮等比子數(shù)列． 即證明無窮等比數(shù)列中的每一項(xiàng)均為數(shù)列中的項(xiàng)． 在等比數(shù)列中，，在等差數(shù)列中，，，若為數(shù)列中的第項(xiàng)，則由，得，整理得，由，均為正整數(shù)，得k也為正整數(shù)，故無窮等比數(shù)列中的每一項(xiàng)均為數(shù)列中的項(xiàng)，得證． 　　綜上，當(dāng)且僅當(dāng)t是大于1的正整數(shù)時(shí)，數(shù)列存在無窮等比子數(shù)列．(18分)