Question

設(shè)雙曲線C₁的漸近線為，焦點(diǎn)在x軸上且實(shí)軸長為1．若曲線C₂上的點(diǎn)到雙曲線C₁的兩個焦點(diǎn)的距離之和等于，并且曲線C₃：x²=2py（p＞0是常數(shù)）的焦點(diǎn)F在曲線C₂上．
（1）求滿足條件的曲線C₂和曲線C₃的方程；
（2）過點(diǎn)F的直線l交曲線C₃于點(diǎn)A、B（A在y軸左側(cè)），若，求直線l的傾斜角．

Answer 1

【答案】分析：（1）雙曲線C₁的漸近線為，焦點(diǎn)在x軸上且實(shí)軸長為1，可得曲線C₁的焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)曲線C₂方程，利用曲線C₂上的點(diǎn)到雙曲線C₁的兩個焦點(diǎn)的距離之和等于，可求方程；曲線C₃：x²=2py（p＞0是常數(shù)）的焦點(diǎn)F在曲線C₂上，可求曲線C₃的方程；
（2）設(shè)直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立，求出兩根，利用向量，即可求得直線的斜率，從而可得直線的傾斜角．
解答：解：（1）雙曲線C₁滿足：…（1分），解得…（2分）
則，于是曲線C₁的焦點(diǎn)F₁（-1，0）、F₂（1，0）…（3分），
曲線C₂是以F₁、F₂為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)其方程為…（4分），
解得，即C₂：…（5分），
依題意，曲線的焦點(diǎn)為F（0，1）…（6分），
于是，所以p=2，曲線…（7分）
（2）由條件可設(shè)直線l的方程為y=kx+1（k＞0）…（8分），
由得x²-4kx-4=0，△=16（k²+1）＞0，
由求根公式得：，…（9分），
由得-3x₁=x₂…（10分），于是，解得…（11分），
由圖知k＞0，∴，
∴直線l的傾斜角為…（12分）
點(diǎn)評：本題考查曲線的方程，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，聯(lián)立方程是關(guān)鍵．