Question

已知函數(shù)f（x）=x⁵+ax³+bx+1在x=1和x=2處取得極值．
（1）求a和b的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

解：（1）因為f'（x）=5x⁴+3ax²+b，…（2分）
由已知得：f'（1）=5+3a+b=0．f'（2）=2⁴×5+2²×3a+b=0，解得． …（5分）
（2）由（1）知f'（x）=5x⁴+3ax²+b=5（x²-1）（x²-4）
=5（x+1）（x+2）（x-1）（x-2）．…（7分）
當x∈（-∞，-2）∪（-1，1）∪（2，+∞）時，f'（x）＞0；
當x∈（-2，-1）∪（1，2）時，f'（x）＜0．…（9分）
因此f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，-2），（-1，1），（2，+∞），f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-2，-1），（1，2）． …（10分）
分析：（I）利用函數(shù)的導數(shù)在極值點處的值為0，列出方程組，求出a，b的值．
（Ⅱ）將a，b的值代入導函數(shù)，令導函數(shù)大于0求出解集為遞增區(qū)間；令導函數(shù)小于0，求出解集為遞減區(qū)間．
點評：本題考查函數(shù)的極值點處的導數(shù)值為0、考查函數(shù)的單調(diào)性與導函數(shù)的符號有關(guān)：導函數(shù)大于0時，函數(shù)遞增；導函數(shù)小于0時，函數(shù)遞減．