(本題滿分14分)如圖,四面體ABCD中,O、E分別是BD、BC的中點,

       (I)求證:平面BCD;

       (II)求異面直線AB與CD所成角的余弦;

       (III)求點E到平面ACD的距離.

(Ⅰ) 略(Ⅱ) (Ⅲ)


解析:

:方法一:

       (I)證明:連結OC

       ………1分

      

       在中,由已知可得

       而   

       ……………3分

        又

      平面……………5分

       (II)解:取AC的中點M,連結OM、ME、OE,由E為BC的中點知

       直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角!6分

        在中,

       ……………7分

       是直角斜邊AC上的中線,

     ……………8分

       異面直線AB與CD所成角大小的余弦為;……………9分

       (III)解:設點E到平面ACD的距離為

              ……………11分

中,

         ……………12分

……………13分

         

點E到平面ACD的距離為……………14分

       方法二:

       (I)同方法一.……………5分

       (II)解:以O為原點,如圖建立空間直角坐標系,

………………6分

       …………7分

………9分

      

異面直線AB與CD所成角大小的余弦為;……………10分

       (III)解:設平面ACD的法向量為則     

…11分      

       令是平面ACD的一個法向量.……12分

       又 點E到平面ACD的距離……14分

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