如圖1， 在直角梯形中， ， ，，為線段的中點. 將沿折起，使平面平面，得到幾何體，如圖2所示.

（1）求證:平面；

（2）求二面角的余弦值.   

 

【答案】

（1）根據(jù)線面垂直的性質定理來證明線線垂直。

（2）

【解析】

試題分析：解析：（1）在圖1中， 可得， 從而，

故.

取中點連結， 則， 又面面，

面面， 面， 從而平面.

∴，又， .

∴平面.

（2）建立空間直角坐標系如圖所示，

則， ， ，，

.

設為面的法向量，則即， 解得. 令， 可得.

又為面的一個法向量，∴.

∴二面角的余弦值為.

（法二）如圖，取的中點，的中點，連結.

易知，又，，又，.

又為的中位線，因，，，且都在面內，故，故即為二面角的平面角.

在中，易知；

在中，易知，.

在中.

故.

∴二面角的余弦值為.

考點：棱錐中的垂直以及二面角的平面角

點評：主要是考查了運用向量法來空間中的角以及垂直的證明，屬于基礎題。

 

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖1，在直角梯形ABEF中（圖中數(shù)字表示線段的長度），將直角梯形DCEF沿CD折起，使平面DCEF⊥平面ABCD，連接部分線段后圍成一個空間幾何體，如圖2．
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12
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（Ⅰ）求三棱椎D-PAB的體積；
（Ⅱ）求證：AP∥平面EFG；
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如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=2，AD=CD=1．將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D-ABC，如圖2所示．求幾何體D-ABC的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•福建模擬）如圖1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=
12
CD=1．
現(xiàn)以AD為一邊向形外作正方形ADEF，然后沿邊AD將正方形ADEF翻折，使平面ADEF與平面ABCD垂直，M為ED的中點，如圖2．
（1）求證：AM∥平面BEC；
（2）求證：BC⊥平面BDE；
（3）求三棱錐D-BCE的體積．

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