一次國際乒乓球比賽中,甲、乙兩位選手在決賽中相遇,根據(jù)以往經(jīng)驗,單局比賽甲選手勝乙選手的概率為0.6,本場比賽采用五局三勝制,即先勝三局的選手獲勝,比賽結束.設全局比賽相互間沒有影響,令ξ為本場比賽甲選手勝乙選手的局數(shù)(不計甲負乙的局數(shù)),求ξ的概率分布和數(shù)學期望(精確到0.0001).
【答案】分析:甲選手勝乙選手的局數(shù)作為隨機變量ξ,它的可能取值是0、1、2、3四個值,結合變量對應的事件,寫出概率,特別是當ξ=3時,本場比賽共三局、或四局、或五局.其中共賽三局時,甲連勝這三局;共賽四局時,第四局甲勝,且前三局中甲勝兩局;共賽五局時,第五局甲勝,且前四局中甲勝兩局;寫出分布列和期望.
解答:解:甲選手勝乙選手的局數(shù)作為隨機變量ξ,它的取值共有0、1、2、3四個值.
①當ξ=0時,本場比賽共三局,甲選手連負三局,
P(ξ=0)=(1-0.6)3=0.064;
②當ξ=1時,本場比賽共四局,甲選手負第四局,且前三局中,甲勝一局,
P(ξ=1)=C310.63×(1-0.6)3=0.1152;
③當ξ=2時,本場比賽共五局,甲選手負第五局,且前四局中,甲勝二局,
P(ξ=2)=C420.62×(1-0.6)3=0.13824;
④當ξ=3時,本場比賽共三局、或四局、或五局.其中共賽三局時,甲連勝這三局;
共賽四局時,第四局甲勝,且前三局中甲勝兩局;共賽五局時,第五局甲勝,且前四局中甲勝兩局;
P(ξ=3)=0.63+C320.63×(1-0.6)+C420.63×(1-0.6)2=0.68256
∴ξ的概率分布列為:
 ξ 0
 P 0.0640.1152 0.13824 0.68256 
∴Eξ=0×0.064+1×0.1152+2×0.13824+3×0.68256=2.43926≈2.4394.
點評:本題考查離散型隨機變量的分布列和期望,考查n次獨立重復試驗恰好發(fā)生k次的概率,是一個綜合題目,注意解題的格式,這種題目不能丟分.
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