Question

已知函數(shù)f(x)=

2x+3(x＜-1) x2(-1≤x≤1) x(x＞1).

（1）畫(huà)出函數(shù)圖象；
（2）求當(dāng)f（x）=-7時(shí)x的值．
（3）討論關(guān)于x方程f（x）=a（a∈R）的根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù) f（x）的解析式，作出函數(shù)的圖象如圖．
（2）令f（x）=-7，可得

x＜-1 2x+3=-7

，解得x的值，從而得出結(jié)論．
（3）討論關(guān)于x方程f（x）=a（a∈R）的根的個(gè)數(shù)，就等于函數(shù)y=f（x）的圖象和直線y=a的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象可得結(jié)論．

解答：解：（1）函數(shù)f(x)=

2x+3(x＜-1) x2(-1≤x≤1) x(x＞1).

的圖象如圖：
（2）令f（x）=-7，可得

x＜-1 2x+3=-7

，解得x=-5，
故當(dāng)f（x）=-7時(shí)，x的值是-5．
（3）討論關(guān)于x方程f（x）=a（a∈R）的根的個(gè)數(shù)，就等于函數(shù)y=f（x）的圖象和直線y=a的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象可得，當(dāng)a＜0時(shí)，y=f（x）的圖象和直線y=a的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1；
當(dāng) 0＜a＜1時(shí)，y=f（x）的圖象和直線y=a的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3；
當(dāng)a=0，或a=1時(shí)，y=f（x）的圖象和直線y=a的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2；
當(dāng)a＞1時(shí)，y=f（x）的圖象和直線y=a的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1．
綜上可得，當(dāng)a＜0或a＞1時(shí)，方程f（x）=a（a∈R）的根的個(gè)數(shù)為1；當(dāng)a=0，或a=1方程f（x）=a（a∈R）的根的個(gè)數(shù)為2；
當(dāng) 0＜a＜1時(shí)，方程f（x）=a（a∈R）的根的個(gè)數(shù)為3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)圖象的作法，函數(shù)零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．