Processing math: 100%
20.在平面直角坐標(biāo)系中,已知A1(-2,0),A2(2,0),B1(x,2),B2(x,-2),P(x,y),若實(shí)數(shù)λ使得λ2OB1OB2=A1PA2P (O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(Ⅰ) 求點(diǎn)P的軌跡C的方程,并討論點(diǎn)P的軌跡類型;
(Ⅱ) 當(dāng)λ=22時(shí),是否存在過(guò)點(diǎn)B(0,2)的直線l與(Ⅰ)中點(diǎn)P的軌跡C相交于不同的兩點(diǎn)E,F(xiàn) (E在B,F(xiàn)之間),且12SBOESBOF<1?若存在,求出該直線的斜率k的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 (Ⅰ) 由題設(shè)條件,知(1-λ2)x2+y2=4(1-λ2),由此進(jìn)行分類討論能得到P點(diǎn)的軌跡類型.
(Ⅱ)當(dāng)λ=22時(shí),點(diǎn)P的軌跡C的方程為x24+y22=1.S△OBE:S△OBF=|x1|:|x2|,由12SBOESBOF<1,即12|x1||x2|<1.設(shè)直線EF直線方程為y=kx+2,聯(lián)立方程可得,:(1+2k2)x2+8kx+4=0,由此能夠推導(dǎo)出直線的斜率的取值范圍.

解答 解:(Ⅰ)由λ2OB1OB2=A1PA2P 得:λ2(x2-4)=x2-4+y2
即(1-λ2)x2+y2=4(1-λ2)為點(diǎn)P的軌跡C的方程     …(2分)
①λ=±1時(shí)方程為y=0軌跡為一條直線,…(3分)
②λ=0時(shí)方程為x2+y2=4軌跡為圓,…(4分)
③λ∈(-1,0)∪(0,1)時(shí)方程為x24+y241λ2=1軌跡為橢圓,…(5分)
④λ∈(-∞,-1)∪(1,+∞)時(shí)方程為x24-y24λ21=1軌跡為雙曲線   …(6分)
(Ⅱ)當(dāng)λ=22時(shí),點(diǎn)P的軌跡C的方程為x24+y22=1 …(7分)
設(shè)E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),∴S△OBE:S△OBF=|x1|:|x2|
12SBOESBOF<1,即12|x1||x2|<1,由題意可得x1,x2同號(hào),∴12x1x2<1…(8分)
由題意得直線EF的斜率存在,設(shè)其方程為y=kx+2
代入橢圓方程得:(1+2k2)x2+8kx+4=0
∵△=64k2-16(1+2k2)>0,∴k212,
x1+x2=-8k1+2k2,x1x2=41+2k2…(9分)
設(shè)x1x2=m,則m+1x2=8k1+2k2,mx22=41+2k2
m+124m1+2k2=64k21+2k22,∴m+12m=16k21+2k2,m+12m=m+1m+2
12m1,∴4m+1m+292
416k21+2k292,∴12k2914,
∴k∈(22,31414)∪(31414,22)為所求…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線類型的判斷,考查直線的斜率的取值范圍的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意分類討論思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

10.已知數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為-34,公比為12的等比數(shù)列,數(shù)列{an}滿足an+1+bn=n-1,記Sn、Tn分別為數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和,若數(shù)列{Snn+λ•Tnn}為等差數(shù)列,則λ=2.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

11.已知a,b>0,且滿足a+4b=1,1a+1的最小值為n,則二項(xiàng)式(x-12xn的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為( �。�
A.89B.-67C.2116D.2231

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

8.如果橢圓y236+x29=1的某條弦被點(diǎn)(2,4)平分,則這條弦所在的直線方程是2x+y-8=0(請(qǐng)寫(xiě)出一般式方程)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

15.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an-an-1=n(n≥2),則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=12n(n+1).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

5.已知函數(shù)f(x)={x1x0fx1+1x0,則f(2016)=(  )
A.2014B.2015C.2016D.2017

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

12.若復(fù)數(shù)z=a+i2i(a∈R,i為虛數(shù)單位)的實(shí)部與虛部相等,則z的模等于22

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

9.設(shè)函數(shù)f(x)是周期為6的偶函數(shù),且當(dāng)x∈[0,3]時(shí)f(x)=3x,則f(2015)=( �。�
A.6B.3C.0D.-6

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

17.已知向量a=(cos3x2,sin3x2),=(cosx2,-sinx2),且x∈[-π6,π4],記f(x)=32|a+|-a\overrightarrow,則f(x)的最小值為( �。�
A.2B.178C.3312D.322

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案
闂佺ǹ楠忛幏锟� 闂傚倸鍋婇幏锟�