分析 (Ⅰ) 由題設(shè)條件,知(1-λ2)x2+y2=4(1-λ2),由此進(jìn)行分類討論能得到P點(diǎn)的軌跡類型.
(Ⅱ)當(dāng)λ=√22時(shí),點(diǎn)P的軌跡C的方程為x24+y22=1.S△OBE:S△OBF=|x1|:|x2|,由12<S△BOES△BOF<1,即12<|x1||x2|<1.設(shè)直線EF直線方程為y=kx+2,聯(lián)立方程可得,:(1+2k2)x2+8kx+4=0,由此能夠推導(dǎo)出直線的斜率的取值范圍.
解答 解:(Ⅰ)由λ2→OB1•→OB2=→A1P•→A2P 得:λ2(x2-4)=x2-4+y2,
即(1-λ2)x2+y2=4(1-λ2)為點(diǎn)P的軌跡C的方程 …(2分)
①λ=±1時(shí)方程為y=0軌跡為一條直線,…(3分)
②λ=0時(shí)方程為x2+y2=4軌跡為圓,…(4分)
③λ∈(-1,0)∪(0,1)時(shí)方程為x24+y24(1−λ2)=1軌跡為橢圓,…(5分)
④λ∈(-∞,-1)∪(1,+∞)時(shí)方程為x24-y24(λ2−1)=1軌跡為雙曲線 …(6分)
(Ⅱ)當(dāng)λ=√22時(shí),點(diǎn)P的軌跡C的方程為x24+y22=1 …(7分)
設(shè)E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),∴S△OBE:S△OBF=|x1|:|x2|
由12<S△BOES△BOF<1,即12<|x1||x2|<1,由題意可得x1,x2同號(hào),∴12<x1x2<1…(8分)
由題意得直線EF的斜率存在,設(shè)其方程為y=kx+2
代入橢圓方程得:(1+2k2)x2+8kx+4=0
∵△=64k2-16(1+2k2)>0,∴k2>12,
x1+x2=-8k1+2k2,x1x2=41+2k2…(9分)
設(shè)x1x2=m,則(m+1)x2=−8k1+2k2,mx22=41+2k2
∴(m+1)24m(1+2k2)=64k2(1+2k2)2,∴(m+1)2m=16k21+2k2,(m+1)2m=m+1m+2,
∵12<m<1,∴4<m+1m+2<92
即4<16k21+2k2<92,∴12<k2<914,
∴k∈(√22,3√1414)∪(−3√1414,−√22)為所求…(12分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線類型的判斷,考查直線的斜率的取值范圍的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意分類討論思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用.
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A. | 89 | B. | -67 | C. | 2116 | D. | 2231 |
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A. | 2014 | B. | 2015 | C. | 2016 | D. | 2017 |
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A. | 6 | B. | 3 | C. | 0 | D. | -6 |
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A. | 2 | B. | 178 | C. | 3√3−12 | D. | 3√22 |
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