Question

20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（$\frac{π}{3}$-θ）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)，0≤α≤π）
（1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（$\frac{π}{3}$-θ）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，展開可得：$\frac{\sqrt{3}}{2}$ρcosθ-$\frac{1}{2}$ρsinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入即可化為直角坐標(biāo)方程．曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)，0≤α≤π），利用cos²α+sin²α=1可得普通方程．
（2）設(shè)P$（cosα，\sqrt{3}sinα）$，點(diǎn)P到直線l的距離d=$\frac{|\sqrt{6}cos（α+\frac{π}{4}）-\sqrt{3}|}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)$cos（α+\frac{π}{4}）$=-1，即α=$\frac{3π}{4}$時(shí)取得最大值．

解答 解：（1）直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（$\frac{π}{3}$-θ）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，展開可得：$\frac{\sqrt{3}}{2}$ρcosθ-$\frac{1}{2}$sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，化為$\sqrt{3}$x-y=$\sqrt{3}$．
曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)，0≤α≤π），可得普通方程：${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1.$（0≤y≤\sqrt{3}）$．
（2）設(shè)P$（cosα，\sqrt{3}sinα）$，點(diǎn)P到直線l的距離d=$\frac{|\sqrt{3}cosα-\sqrt{3}sinα-\sqrt{3}|}{2}$=$\frac{|\sqrt{6}cos（α+\frac{π}{4}）-\sqrt{3}|}{2}$≤$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)$cos（α+\frac{π}{4}）$=-1，即α=$\frac{3π}{4}$時(shí)取等號(hào)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、點(diǎn)到直線的距離公式、直線與橢圓相切的充要條件、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．