Question

曲線C上任意一點(diǎn)到E（-4，0），F(xiàn)（4，0）的距離的和為12，C與x軸的負(fù)半軸、正半軸依次交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，且位于x軸上方，
（1）求曲線C的方程；
（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）求曲線C的中心為圓心，AB為直徑作圓O，過(guò)點(diǎn)P的直線l截圓O的弦MN長(zhǎng)為，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)G是曲線C上任意一點(diǎn)，依題意，|GE|+|GF|=12．a(chǎn)=6，c=4，，由此可知所求的橢圓方程．
（2）由已知A（-6，0），F(xiàn)（4，0），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則由已知得則，由此可推導(dǎo)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
（3）圓O的圓心為（0，0），半徑為6，其方程為x²+y²=36，直線l的方程為，圓心到l的距離，所以，由此可推導(dǎo)出所求的直線l的方程．
解答：解：（1）設(shè)G是曲線C上任意一點(diǎn)，依題意，|GE|+|GF|=12．
所以曲線C是以E、F為焦點(diǎn)的橢圓，且橢圓的長(zhǎng)半袖a=6，半焦距c=4，
所以短半軸，
所以所求的橢圓方程為；
（2）由已知A（-6，0），F(xiàn)（4，0），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）
則
由已知得
則，
由于y＞0，所以只能取，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
（3）圓O的圓心為（0，0），半徑為6，其方程為x²+y²=36，
若過(guò)P的直線l與x軸垂直，則直線l的方程為，
這時(shí)，圓心到l的距離，
所以，
符合題意；
若過(guò)P的直線l不與x軸垂直，設(shè)其斜率為k，
則直線l的方程為，
即
這時(shí)，圓心到l的距離d=，
所以，
化簡(jiǎn)得，
所以直線l的方程為，
綜上，所求的直線l的方程為
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．