Question

給出以下四個命題：
①△ABC中，A＞B?sinA＞sinB．
②△ABC中，A為鈍角?a²＞c²+b²．
③函數(shù)y=

1

2

ln

1-cosx

1+cosx

與y=lntan

x

2

是同一函數(shù)．
④將函數(shù)y=f（x）的圖象上每一點的縱坐標(biāo)縮為原來的

1

2

倍，再將橫坐標(biāo)縮為原來的

1

2

倍，再將整個圖象沿x軸向左平移

π

3

，可得y=sinx，則原函數(shù)是f（x）=2sin（2x-

π

3

）．
在上述四個命題中，真命題的序號是

 

（寫出所有真命題的序號）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：①，△ABC中，利用大邊對大角及正弦定理可得到：A＞B?sinA＞sinB，從而可判斷①；
②，△ABC中，利用余弦定理可知cosA=

b2+c2-a2

2bc

，當(dāng)A為鈍角時，cosA＜0?a²＞c²+b²，從而可判斷②
③，利用二倍角的正弦與余弦公式可知，函數(shù)y=

1

2

ln

1-cosx

1+cosx

=

1

2

lntan2

x

2

，從而可判斷是否與y=lntan

x

2

是同一函數(shù)，可判斷③；
④依題意，逆向思維，將y=sinx的圖象向右平移

π

3

，再將得到的y=sin（x-

π

3

）的圖象上的點的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，最后將得到的函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，就是原函數(shù)的解析式，從而可判斷④．

解答： 解：對于①，△ABC中，大角對大邊，故A＞B?a＞b，由正弦定理可知，a＞b?2RsinA＞2RsinB?sinA＞sinB，即△ABC中，A＞B?sinA＞sinB，①正確；
對于②，△ABC中，A為鈍角?cosA=

b2+c2-a2

2bc

＜0?a²＞c²+b²，故②正確；
對于③，函數(shù)y=

1

2

ln

1-cosx

1+cosx

=

1

2

ln

2sin2 x 2

2cos2 x 2

=

1

2

ln

sin2 x 2

cos2 x 2

=

1

2

lntan2

x

2

與y=lntan

x

2

的定義域不同，不是同一函數(shù)，故③不正確；
對于④，原函數(shù)解析式是由y=sinx的圖象向右平移

π

3

，得到y(tǒng)=sin（x-

π

3

）的圖象，再將y=sin（x-

π

3

）的圖象上的點的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，得到y(tǒng)=sin（

1

2

x-

π

3

）的圖象，最后將函數(shù)y=sin（

1

2

x-

π

3

）的圖象上所有點的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，得到原函數(shù)的解析式為f（x）=2sin（

1

2

x-

π

3

），故④錯誤．
在上述四個命題中，真命題的序號為：①②，
故答案為：①②．

點評：不同考查解三角形、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，綜合考查正弦定理、余弦定理、二倍角公式的應(yīng)用及三角函數(shù)的圖象變換，屬于難題．