Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（1）求函數f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）證明：對一切x∈（0，+∞），都有成立．

Answer 1

解：（1）f'（x）=lnx+1，當，f'（x）＜0，f（x）單調遞減，
當，f'（x）＞0，f（x）單調遞增．
①，t無解；
②，即時，；
③，即時，f（x）在[t，t+2]上單調遞增，f（x）_min=f（t）=tlnt；
∴．
（2）2xlnx≥-x²+ax-3，則，
設，則，
x∈（0，1），h'（x）＜0，h（x）單調遞減，x∈（1，+∞），h'（x）＞0，h（x）單調遞增，
所以h（x）_min=h（1）=4
因為對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，所以a≤h（x）_min=4；
（3）問題等價于證明，
由（1）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是，當且僅當時取到
設，則，易得，
當且僅當x=1時取到，從而對一切x∈（0，+∞），都有成立．
分析：（1）對函數求導，根據導函數與0的關系寫出函數的單調性和區(qū)間，討論所給的區(qū)間和求出的單調區(qū)間之間的關系，在不同條件下做出函數的最值．
（2）根據兩個函數的不等關系恒成立，先求出兩個函數的最值，利用最值思想解決，主要看兩個函數的最大值和最小值之間的關系，得到結果．
（3）要證明不等式成立，問題等價于證明，由（1）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是，構造新函數，得到結論．
點評：不同考查利用導數研究函數的最值，利用最值解決函數的恒成立思想，不同解題的關鍵是構造新函數，利用新函數的性質解決問題．