Question

函數f（x）=（1+cosx）⁸+（1-cosx）⁸（x∈R）的最大值等于________．

Answer 1

256
分析：根據二項式定理，化簡得出f（x）=2（C₈⁰+C₈²cos²x+C₈⁴cos⁴x+C₈⁶cos⁶x+c₈⁸cos⁸x），令cos²x=t 降次后，轉化為關于t的四次函數，結合單調性求出最值．
解答：根據二項式定理，（1+cosx）⁸與（1-cosx）⁸展開式中，奇數項相等，偶數項互為相反數，
∴f（x）=2（C₈⁰+C₈²cos²x+C₈⁴cos⁴x+C₈⁶cos⁶x+c₈⁸cos⁸x），
令cos²x=t，則y=g（t）=2（C₈⁰+C₈²t+C₈⁴t²+C₈⁶t³+c₈⁸t⁴），
易知g（t）在t∈[0，1]上單調遞增，
所以當t=1時，y取得最大值，y=2（C₈⁰+C₈²+C₈⁴+C₈⁶+c₈⁸）=2（1+28+70+28+1）=256．
故答案為：256．
點評：本題考查三角函數最值求解，二項式定理的應用．用到了換元法的函數的單調性．