Question

6．已知S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，S₃，S₉，S₆成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求證：a₂，a₈，a₅成等差數(shù)列；
（Ⅱ）若a₁-a₄=3，求a₁+a₄+a₇+…a₃₁．

Answer 1

分析 （I）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q≠1，由S₃，S₉，S₆成等差數(shù)列．可得2S₉=S₃+S₆，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可證明．
（II）由2q⁶=1+q³，可得：q³=-$\frac{1}{2}$．又a₁-a₄=3，可得${a}_{1}（1-{q}^{3}）$=3，解得a₁．再利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 （I）證明：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q≠1，∵S₃，S₉，S₆成等差數(shù)列．∴2S₉=S₃+S₆，
∴$\frac{2{a}_{1}（{q}^{9}-1）}{q-1}$=$\frac{{a}_{1}（{q}^{3}-1）}{q-1}$+$\frac{{a}_{1}（{q}^{6}-1）}{q-1}$，
化為：2q⁶=1+q³，
∴$2{a}_{1}{q}^{7}={a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{4}$，
∴2a₈=a₂+a₅．
∴a₂，a₈，a₅成等差數(shù)列．
（II）解：由2q⁶=1+q³，可得：q³=-$\frac{1}{2}$．
又a₁-a₄=3，∴${a}_{1}（1-{q}^{3}）$=3，∴${a}_{1}（1+\frac{1}{2}）=3$，解得a₁=2．
∴a₁+a₄+a₇+…a₃₁=$\frac{{a}_{1}[1-（{q}^{3}）^{11}]}{1-{q}^{3}}$=$\frac{2[1-（-\frac{1}{2}）^{11}]}{1-（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{1025}{1536}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．