如圖所示,在△ABC中,AC=1,AB=3,∠ACB=
π2
,P為AB的中點(diǎn)且△ABC與矩形BCDE所在的平面互相垂直,CD=2.
(1)求證:AD∥平面PCE;
(2)求二面角A-CE-P的余弦值.
分析:(1)設(shè)BD∩CE=Q,連接PQ.利用三角形的中位線定理和線面平行的判定定理即可證明;
(2)由題意CA,CB,CD兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,利用兩個平面的法向量的夾角即可得出二面角的平面角的大。
解答:(1)證明:設(shè)BD∩CE=Q,連接PQ.
在△ABD中,BQ=QD,BP=PA,∴AD∥PQ.
又∵PQ?平面PCE,AD?平面PCE,
∴AD∥平面PCE;
(2)解:由題意CA,CB,CD兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則C(0,0,0),A(1,0,0),E(0,2
2
,2)
,P(
1
2
2
,0)

CA
=(1,0,0)
CE
=(0,2
2
,2)
,
CP
=(
1
2
2
,0)

設(shè)平面CAE的法向量為
n
=(x,y,z).
n
CA
=x=0
n
CE
=2
2
y+2z=0
,令z=
2
,則y=-1,x=0.∴
n
=(0,-1,
2
)

設(shè)平面PCE的法向量為
m
,同理由
m
CE
=0
m
CP
=0
,解得
m
=(-4,
2
,-2)

cos<
m
n
=
m
n
|
m
| |
n
|
=
-3
2
22
3
=-
33
11
.由圖可知:二面角A-CE-P的平面角是銳角,
∴其余弦值=
33
11
點(diǎn)評:熟練掌握三角形的中位線定理和線面平行的判定定理、通過建立空間直角坐標(biāo)系利用兩個平面的法向量的夾角得到二面角的平面角的大小的方法等是解題的關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,在△ABC,已知AB=
4
6
3
cosB=
6
6
,AC邊上的中線BD=
5
,求:
(1)BC的長度;
(2)sinA的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,在△ABC中,點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn),則向量
DC
=( 。
A、
1
2
BA
+
BC
B、
1
2
BA
-
BC
C、-
1
2
BA
-
BC
D、-
1
2
BA
+
BC

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,在△ABC中,∠B=60°,∠C=45°,高AD=
3
,在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M,則BM<1的概率為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,在△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=60°,AD⊥BC于D,則
AD
=( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,在△ABC中,∠B=60°,∠C=45°,高AD=
3
,在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M,求BM<1的概率.

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