(本小題滿分15分) 已知動圓過定點,且與直線相切,橢圓 的對稱軸為坐標(biāo)軸,一個焦點是,點在橢圓上.
(Ⅰ)求動圓圓心的軌跡的方程及其橢圓的方程;
(Ⅱ)若動直線與軌跡在處的切線平行,且直線與橢圓交于兩點,問:是否存在著這樣的直線使得的面積等于?如果存在,請求出直線的方程;如果不存在,請說明理由.
(Ⅰ)軌跡的方程,橢圓的方程為.(Ⅱ)的面積等于的直線不存在.
【解析】
試題分析:(Ⅰ)設(shè)過圓心作直線直線的垂線,垂足為,由題意得,即動點到定點的距離與到定直線的距離相等.由拋物線的定義知,點的軌跡為以為焦點,直線為準(zhǔn)線的拋物線,其方程為. ------3分
設(shè)橢圓方程為,將點代入方程得,
整理得,解得或(舍去).
故所求橢圓的方程為.------------------------6分
(Ⅱ)軌跡的方程為即,則,---------------7分
所以軌跡在處的切線的斜率為,故直線的斜率為, 假設(shè)符合題意的直線方程為. --------8分
代入橢圓方程化簡得,設(shè),,,,,-----------------9分
故,------------------------10分
又點到直線的距離是, --------------------11分
故-------------------13分
當(dāng)且僅當(dāng),即取得等號(滿足).--------------14分
此時的面積等于,
所以的面積等于的直線不存在.--------------15分
考點:橢圓的簡單性質(zhì);圓的簡單性質(zhì);軌跡方程的求法;直線與橢圓的綜合應(yīng)用。
點評:求軌跡方程的一般方法:直接法、定義法、相關(guān)點法、參數(shù)法、交軌法、向量法等。本題求軌跡方程用到的是定義法。用定義法求軌跡方程的關(guān)鍵是條件的轉(zhuǎn)化——轉(zhuǎn)化成某一已知曲線的定義條件。
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年福建省高三上學(xué)期期中理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分15分)
已知函數(shù)
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若,試分別解答以下兩小題.
(ⅰ)若不等式對任意的恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(ⅱ)若是兩個不相等的正數(shù),且,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年浙江省高三下學(xué)期3月聯(lián)考理科數(shù)學(xué) 題型:解答題
(本小題滿分15分).
已知、分別為橢圓:的
上、下焦點,其中也是拋物線:的焦點,
點是與在第二象限的交點,且。
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知點P(1,3)和圓:,過點P的動直線與圓相交于不同的兩點A,B,在線段AB取一點Q,滿足:,(且)。求證:點Q總在某定直線上。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年浙江省高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)文卷 題型:解答題
(本小題滿分15分)
如圖已知,橢圓的左、右焦點分別為、,過的直線與橢圓相交于A、B兩點。
(Ⅰ)若,且,求橢圓的離心率;
(Ⅱ)若求的最大值和最小值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆浙江省寧波市高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué) 題型:解答題
(本小題滿分15分)若函數(shù)在定義域內(nèi)存在區(qū)間,滿足在上的值域為,則稱這樣的函數(shù)為“優(yōu)美函數(shù)”.
(Ⅰ)判斷函數(shù)是否為“優(yōu)美函數(shù)”?若是,求出;若不是,說明理由;
(Ⅱ)若函數(shù)為“優(yōu)美函數(shù)”,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011年江蘇省高二下學(xué)期期中考試?yán)頂?shù) 題型:解答題
(本小題滿分15分)在5道題中有3道理科題和2道文科題,如果不放回地依次抽取2道題.求:
(1)第1次抽到理科題的概率;
(2)第1次和第2次都抽到理科題的概率;
(3)在第1次抽到理科題的條件下,第2次抽到文科題的概率
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