Question

如圖，已知MN分別是橢圓C₁、C₂的長(zhǎng)軸和短軸，且C₁、C₂的離心率都等于，直線l⊥MN，l與C₁交于B，C兩點(diǎn)，與C₂交于A，D兩點(diǎn)．
（I）當(dāng)|MN|=4時(shí)，求C₁，C₂的方程；
（II）當(dāng)l平行移動(dòng)時(shí)，
（�。┳C明：|BC|：|AD|為定值；
（ⅱ）是否存在直線l，使BO∥AN？若存在，求直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（ⅱ）是否存在直線l，使BO∥AN？若存在，求直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（I）解：∵C₁離心率都等于，長(zhǎng)軸長(zhǎng)|MN|=4，
∴a=2，
∴c=
∴b²=a²-c²=2
∴C₁方程為；
∵C₂的離心率都等于，短軸長(zhǎng)|MN|=4，
∴C₂方程為；
（II）（ⅰ）證明：由于C₁、C₂的離心率都等于，可設(shè)C₁：，C₂：
設(shè)l：x=t（|t|＜a），分別與C₁、C₂方程聯(lián)立，求得A（t，），B（t，）
∴|BC|：|AD|=為定值；
（ⅱ）解：t=0時(shí)的l不符合題意．…（9分）
t≠0時(shí)，BO∥AN?k_BO=k_AN
而，
所以BO∥AN?…（11分）
解得t=-a，與|t|＜a矛盾，所以不存在直線l，使BO∥AN．…（12分）
分析：（I）根據(jù)MN分別是橢圓C₁、C₂的長(zhǎng)軸和短軸，且C₁、C₂的離心率都等于，確定幾何量之間的關(guān)系，即可求得橢圓的方程；
（II）（ⅰ）根據(jù)C₁、C₂的離心率都等于，可設(shè)C₁，C₂的方程，設(shè)l：x=t（|t|＜a），分別與C₁、C₂方程聯(lián)立，求得A，B的坐標(biāo)，即可證得結(jié)論；（ⅱ）t=0時(shí)的l不符合題意；t≠0時(shí)，BO∥AN?k_BO=k_AN，利用BO∥AN建立等式，求得t=-a，與|t|＜a矛盾，故可得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．