Question

12．已知數列1²，-2²，3²，-4²，…，（-1）ⁿ⁺¹n²，…．
（1）計算S₁，S₂，S₃，S₄的值；
（2）根據（1）中的結果，猜想S_n的表達式，并用數學歸納法進行證明．

Answer 1

分析 （1）按照數列和的定義計算即可
（2）按照數學歸納法的證明步驟進行證明．

解答 解：（1）S₁=1，S₂=1-4=-3，S₃=-3+9=6，S₄=6-16=-10．
（2）猜想S_n=${（-1）^{n+1}}\frac{n（n+1）}{2}$．    
證明如下：
①當n=1時，左邊=S₁=1，右邊=${（-1）^2}\frac{1×2}{2}=1$，猜想成立．
②假設當n=k時猜想成立，即${1^2}-{2^2}+{3^2}-{4^2}+…+{（-1）^{k+1}}{k^2}={（-1）^{k+1}}\frac{k（k+1）}{2}$，
那么當n=k+1時，1²-2²+3²-4²+…+（-1）^K+1k²+（-1）^K+2（k+1）²，
=（-1）^k+1$\frac{k（k+1）}{2}$+（-1）^K+2（k+1）²，
=${（-1）^{k+2}}[-\frac{k（k+1）}{2}+{（k+1）^2}]$，
=${（-1）^{k+2}}[（k+1）（-\frac{k}{2}+（k+1）]$，
=${（-1）^{k+2}}（k+1）（\frac{k+2}{2}）={（-1）^{k+2}}\frac{（k+1）（k+2）}{2}$．
所以，當n=k+1時猜想成立． 
根據①②，可知猜想對任何n∈N*成立．

點評 本題考查了遞推式的應用、數學歸納法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．