Question

已知二函數(shù)y=3x⁴+a，y=4x³，若它們的圖象有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處的切線重合，則切斜線率為（　�。�

• A、0
• B、12
• C、0或12
• D、4或1

Answer 1

分析：設(shè)出切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解．

解答：解：設(shè)公共點(diǎn)為P（x₀，y₀），則在函數(shù)y=3x⁴+a中，
y′|x=x0=12x03，
則在P點(diǎn)處的切線方程為y-y₀=12x₀³（x-x₀）
即y-（3x₀⁴+a）=12x₀³（x-x₀）
化簡(jiǎn)得，y=12x₀³x-9x₀⁴+a
在函數(shù)y=4x³中，y′|x=x0=12x02
則在P點(diǎn)處的切線方程為y-y₀=12x₀²（x-x₀）
即y-4x₀³=12x₀²（x-x₀）
化簡(jiǎn)得，y=12x₀²x-8x₀³
又兩個(gè)函數(shù)在公共點(diǎn)處的切線重合，
∴

12x03=12x02 -9x04+a=-8x03

∴

x0=0 a=0

或

x0=1 a=1

∴切線斜率為0或12．

點(diǎn)評(píng)：設(shè)出切點(diǎn)是本題解題的關(guān)鍵，再利用幾何意義進(jìn)行求解．今年的高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的考查大多數(shù)集中在幾何意義的考查上．