Question

已知，求證：
（1）當(dāng)m＜n（m∈N^*）時，；
（2）當(dāng)n＞1時，；
（3）對于任意給定的正數(shù)M，總能找到一個正整數(shù)N₀，使得當(dāng)n＞N₀時，有f（n）＞M．

Answer 1

證明：（1）當(dāng)m＜n時，
f（n）-f（m）=≥=．
（2）當(dāng)n＞1時，
；
（3）∵，
∴f（n）在N^*上單調(diào)遞增．
由（2）可知，當(dāng)n＞1時，．對任意給定的正數(shù)M，設(shè)M₀是比M大的最小正整數(shù)，
取，則當(dāng)n＞N₀時，．
分析：（1）當(dāng)m＜n時，考察f（n）與（m）的差f（n）-f（m），結(jié)合放縮法即可證得；
（2）當(dāng)n＞1時，利用放縮法結(jié)合等比數(shù)列的求和公式即得結(jié)論；
（3）由于，得出f（n）在N^*上單調(diào)遞增．由（2）可知，當(dāng)n＞1時，．對任意給定的正數(shù)M，設(shè)M₀是比M大的最小正整數(shù)，取，則當(dāng)n＞N₀時，有f（n）＞M．
點評：本小題主要考查綜合法與分析法、不等式的證法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．