精英家教網(wǎng)如圖,在直角坐標系xOy中,角α的頂點是原點,始邊與x軸正半軸重合,終邊交單位圓于點A,且α∈(
π
3
π
2
)
.將角α的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)
π
6
,交單位圓于點B.記A(x1,y1),B(x2,y2).
(Ⅰ)若x1=
1
4
,求x2; 
(Ⅱ)分別過A,B作x軸的垂線,垂足依次為C,D.記△AOC的面積為S1,△BOD的面積為S2.若S1=S2,求角α的值.
分析:(I)根據(jù)三角函數(shù)定義求得 x1=cosα,x2=cos(α+
π
6
)
,再利用x1=
1
4
,求得cosα,sinα,然后利用x2=cos(α+
π
6
)=
3
2
cosα-
1
2
sinα求x2;
(II)根據(jù)圖形用α的三角函數(shù)表示S1、S2,利用S1=S2求得tan2α,分析2α的范圍求得2α,從而求得α.
解答:解:(I)由三角函數(shù)定義,得 x1=cosα,x2=cos(α+
π
6
)
,
∵α∈(
π
3
π
2
),cosα=
1
4
,
∴sinα=
1-(
1
4
)
2
=
15
4
,
∴x2=cos(α+
π
6
)=
3
2
cosα-
1
2
sinα=
3
-
15
8

(Ⅱ)解:依題意得 y1=sinα,y2=sin(α+
π
6
).
∴S1=
1
2
x1y1=
1
4
sin2α,
S2=
1
2
|x2|y2=
1
2
sin(α+
π
6
)|cos(α+
π
6
)|=-
1
4
sin(2α+
π
3
),
∵S1=S2
∴sin2α=-sin(2α+
π
3
)=-
1
2
sin2α-
3
2
cos2α,
整理得tan2α=-
3
3

π
3
<α<
π
2
,
3
<2α<π,
∴2α=
6
,即α=
12
點評:本題主要考查三角函數(shù)的定義及三角函數(shù)恒等變形,考查了學生運用三角函數(shù)的知識解決問題的能力.
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(2009•杭州二模)如圖,在直角坐標系xOy中,銳角△ABC內(nèi)接于圓x2+y2=1.已知BC平行于x軸,AB所在直線方程為y=kx+m(k>0),記角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.
(1)若3k=
2ac
a2+c2-b2
,求cos2
A+C
2
+sin2B
的值;
(2)若k=2,記∠xOA=α(0<α<
π
2
),∠xOB=β(π<β<
2
),求sin(α+β)
的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在直角坐標系中,中心在原點,焦點在X軸上的橢圓G的離心率為e=
15
4
,左頂點A(-4,0),圓O':(x-2)2+y2=r2是橢圓G的內(nèi)接△ABC的內(nèi)切圓.
(Ⅰ) 求橢圓G的方程;
(Ⅱ)求圓O'的半徑r;
(Ⅲ)過M(0,1)作圓G的兩條切線交橢圓于E,F(xiàn)兩點,判斷直線EF與圓O'的位置關系,并證明.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•石景山區(qū)二模)如圖,在直角坐標系xOy中,角α的頂點是原點,始邊與x軸正半軸重合,終邊交單位圓于點A,且α∈(
π
6
,
π
2
)
.將角α的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)
π
3
,交單位圓于點B.記A(x1,y1),B(x2,y2).
(Ⅰ)若x1=
1
3
,求x2
(Ⅱ)分別過A,B作x軸的垂線,垂足依次為C,D.記△AOC的面積為S1,△BOD的面積為S2.若S1=2S2,求角α的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在直角坐標系中,已知射線OA:x-y=0(x≥0),OB:
3
x+3y=0(x≥0),過點P(a,0)(a>0)作直線l分別交射線OA,OB于A,B兩點,且
AP
=2
PB
,則直線l的斜率為
 

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