Question

8．已知定義在R上的函數(shù)f（x）=2cosωxsin（$ωx+\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$（ω＞0）的周期為π．
（1）求ω的值及f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）記g（x）=f（x）+sin（x-$\frac{π}{6}$），求g（x）的值域．

Answer 1

分析 利用兩角和差化積公式，將f（x）轉(zhuǎn)換為sin（2ω+π/6）的形式，在利用T=2π/2ω，求出ω的值，求g（x）主要根據(jù)誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)換為sin（x-π/6）的形式，
在構(gòu)造二次函數(shù)，求出二次函數(shù)的定義域，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性求出函數(shù)的最值．

解答 解：由函數(shù)$f（x）=2cosωxsin（ωx+\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx+\frac{1}{2}cos2ωx$
=$sin（2ωx+\frac{π}{6}）$，
由函數(shù)的周期T=π，
∴ω=1，
函數(shù)的單調(diào)遞減時(shí)，$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，（k∈Z），
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間$[\frac{π}{6}+kπ，\frac{2π}{3}+kπ]$
（2）由$g（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）+sin（x-\frac{π}{6}）$
=$sin[2（x-\frac{π}{6}）+\frac{π}{2}]+sin（x-\frac{π}{6}）$
=$cos2（x-\frac{π}{6}）+sin（x-\frac{π}{6}）$
=$1-2si{n}^{2}（x-\frac{π}{6}）+sin（x-\frac{π}{6}）$
設(shè)$sin（x-\frac{π}{6}）=t$則：g（x）=1-2t²+t，-1≤t≤1
由二次函數(shù)圖象可知：函數(shù)在x=$\frac{1}{4}$取最大值為$\frac{9}{8}$，當(dāng)x=-1時(shí)取最小值為-2；
∴函數(shù)的取值范圍為[-2，$\frac{9}{8}$]

點(diǎn)評(píng) 本題考查了積化和差公式，求三角函數(shù)的周期，利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)換成相同函數(shù)的不同次冪的形式，再構(gòu)造二次函數(shù)，求二次函數(shù)的值域，構(gòu)造二次函數(shù)時(shí)要注意，函數(shù)的定義域的取值范圍．屬于中檔題．