Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n=2-

1

an-1

（n≥2，n∈N^*）
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）試猜想{a_n}的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．

Answer 1

考點：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）依題意，由a₁=2，a_n=2-

1

an-1

（n≥2，n∈N^*），即可求得a₂，a₃，a₄；
（2）通過（1）可猜想a_n，用數(shù)學(xué)歸納法證明即可：先證當(dāng)n=1時結(jié)論成立，再假設(shè)假設(shè)n=k時，結(jié)論成立，去證明當(dāng)n=k+1時，等式也成立即可．

解答： 解：（1）a₁=2，a_n=2-

1

an-1

，可得a₂=

3

2

，a₃=

4

3

，同理可得a₄=

5

4

…（3分）
（2）猜想a_n=

n+1

n

（n=1，2，3，…）…（6分）
證明：①當(dāng)n=1時，結(jié)論顯然成立…（8分）
②假設(shè)n=k時，結(jié)論成立，即a_k=

k+1

k

，
那么當(dāng)n=k+1時，a_k+1=2-

1

ak

=2-

k

k+1

=

(k+1)+1

k+1

，
即當(dāng)n=k+1時，等式成立．
由①②知，a_n=

n+1

n

對一切自然數(shù)n都成立．…（13分）

點評：本題考查數(shù)列的遞推式，考查歸納猜想，著重考查數(shù)學(xué)歸納法，考查推理與證明，屬于難題．