已知函數(shù)f(x)=
x+2x-6
,
(1)當(dāng)f(x)=2時(shí),求x的值;
(2)證明函數(shù)f(x)在[2,4]上是減函數(shù),并求函數(shù)的最大值和最小值.
分析:(1)令f(x)=
x+2
x-6
=2,解方程可求出x的值;
(2)任取2≤x1<x2≤4,判斷f(x1)與f(x2)的大小,進(jìn)而利用函數(shù)單調(diào)性的定義,可判斷出函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而得到函數(shù)的最值.
解答:解:(1)若令f(x)=
x+2
x-6
=2
即x+2=2(x-6)
解得x=14
(2)任取2≤x1<x2≤4,
則x2-x1>0,x1-6<0,x2-6<0,
f(x1)-f(x2)=
x1+2
x1-6
-
x2+2
x2-6
=
8(x2-x1)
(x1-6)(x2-6)
>0
即f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2
故函數(shù)f(x)在[2,4]上是減函數(shù),
∴當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)f(x)取最大值-1,
當(dāng)x=4時(shí),函數(shù)f(x)取最小值-3.
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用,函數(shù)的值,函數(shù)的單調(diào)性,熟練掌握函數(shù)單調(diào)性的定義,證明及應(yīng)用是解答的關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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