Question

8．已知橢圓w：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）過點（0，$\sqrt{2}$），橢圓w上任意一點到兩焦點的距離之和為4．
（Ⅰ）求橢圓w的方程；
（Ⅱ）如圖，設直線l：y=kx（k≠0）與橢圓w交于P，A兩點，過點P（x₀，y₀）作PC⊥x軸，垂足為點C，直線AC交橢圓w于另一點B．
①用直線l的斜率k表示直線AC的斜率；
②寫出∠APB的大小，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知條件列出方程，求出a，b即可求解橢圓W的方程．
（Ⅱ）①設P（x₀，y₀），則A（-x₀，-y₀），C（x₀，0），推出${k_{\;}}=\;\frac{y_0}{x_0}$，然后求解直線AC的斜率．
②∠APB=90°，寫出直線AB的方程：$y=\frac{k}{2}（x-{x_0}）$，設點B（x₁，y₁），聯(lián)立AB與橢圓方程，求出B的坐標，然后求解PB的斜率，利用直線垂直的充要條件證明即可．

解答 （本小題共14分）
解：（Ⅰ）由題意橢圓w：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）過點（0，$\sqrt{2}$），可得：b=2，
∵2a=4，∴$a=2，b=\sqrt{2}$，-------------------（2分）
橢圓w的方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．--------------------（4分）
（Ⅱ）①設P（x₀，y₀），則A（-x₀，-y₀），C（x₀，0），${k_{\;}}=\;\frac{y_0}{x_0}$．--------------------（6分）
直線AB的斜率${k_1}=\;\frac{{0-（-{y_0}）}}{{{x_0}-（-{x_0}）}}=\frac{y_0}{{2{x_0}}}=\frac{k}{2}$．--------------------（7分）
②∠APB=90°--------------------（8分）
由①可得直線AB的方程：$y=\frac{k}{2}（x-{x_0}）$，設點B（x₁，y₁
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{k}{2}（x-{x_0}）\\{x^2}+2{y^2}=4\end{array}\right.$，
消去y得$（2+{k^2}）{x^2}-2{k^2}{x_0}x+{k^2}{x_0}^2-8=0$-------------（10分）
則$-{x_0}+{x_1}=\frac{{2{k^2}{x_0}}}{{2+{k^2}}}$，解得${x_1}=\frac{{3{k^2}{x_0}+2{x_0}}}{{2+{k^2}}}$，------------（12分）
所以${y_1}=\frac{{{k^3}{x_0}}}{{2+{k^2}}}$，點$B（\frac{{3{k^2}{x_0}+2{x_0}}}{{2+{k^2}}}，\frac{{{k^3}{x_0}}}{{2+{k^2}}}）$．-----------（13分）
因為 ${k_{PB}}=\frac{{\frac{{{k^3}{x_0}}}{{2+{k^2}}}-k{x_0}}}{{\frac{{3{k^2}{x_0}+2{x_0}}}{{2+{k^2}}}-{x_0}}}=\frac{{-2k{x_0}}}{{2{k^2}{x_0}}}=-\frac{1}{k}$，
所以k_AP•k_PB=-1，所以∠APB=90°----------------------（14分）

點評 本題考查橢圓的方程的求法，直線與橢圓的位置關系的綜合應用，考查轉化思想以及計算能力．