Question

當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，有f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

，則稱(chēng)函數(shù)f（x）是“嚴(yán)格下凸函數(shù)”，下列函數(shù)是嚴(yán)格下凸函數(shù)的是（　�。�

A．y=x

B．y=|x|

C．y=x²

D．y=log₂x

Answer 1

分析：先求出f（

x1+x2

2

）的解析式以及

f(x1)+f(x2)

2

的解析式，利用函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式判斷f（

x1+x2

2

）和

f(x1)+f(x2)

2

的大小關(guān)系，再根據(jù)“嚴(yán)格下凸函數(shù)”的定義域，
得出結(jié)論．

解答：解：A、對(duì)于函數(shù)y=f（x）=x，當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，有f（

x1+x2

2

）=

x1+x2

2

，

f(x1)+f(x2)

2

=

x1+x2

2

，
f（

x1+x2

2

）=

f(x1)+f(x2)

2

，故不是嚴(yán)格下凸函數(shù)．
B、對(duì)于函數(shù)y=f（x）=|x|，當(dāng)x₁≠x₂ ＞0時(shí)，f（

x1+x2

2

）=|

x1+x2

2

|=

x1+x2

2

，

f(x1)+f(x2)

2

=

|x1|+|x2|

2

=

x1+x2

2

，
f（

x1+x2

2

）=

f(x1)+f(x2)

2

，故不是嚴(yán)格下凸函數(shù)．
C、對(duì)于函數(shù) y=f（x）=x²，當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，有f（

x1+x2

2

）=(

x1+x2

2

)2=

x12+2x1x2+x22

4

，

f(x1)+f(x2)

2

=

x12 +x22

2

，顯然滿(mǎn)足f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

，故是嚴(yán)格下凸函數(shù)．
D、對(duì)于函數(shù)y=f（x）=log₂x，f（

x1+x2

2

）=log2

x1+x2

2

，

f(x1)+f(x2)

2

=

1

2

(log2x1+log2x2)=log2

x1•x2

，
f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

，故不是嚴(yán)格下凸函數(shù)．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)，基本不等式的應(yīng)用，“嚴(yán)格下凸函數(shù)”的定義，屬于中檔題．