Question

設函數f（x）及其導函數f'（x）都是定義在R上的函數，則“?x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|”是“?x∈R，|f'（x）|＜1”的

1. A.
   充分而不必要條件
2. B.
   必要而不充分條件
3. C.
   充要條件
4. D.
   既不充分也不必要條件

Answer 1

C
分析：由前邊的命題成立能推出后邊的命題成立，由后邊的命題成立也能推出前邊的命題成立，由此可得結論．
解答：由于f′（x）==，故|f′（x）|=．
由“?x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|”，利用函數的導數的定義，可推出|f′（x）|＜1，
故成分性成立．
再由“?x∈R，|f′（x）|＜1”，可得“?x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|”成立，
故必要性成立．
綜上可得，“?x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|”是“?x∈R，|f′（x）|＜1”的充要條件，
故選C．
點評：本題主要考查充分條件、必要條件、充要條件的定義，函數的導數的定義，屬于基礎題．