Question

已知兩點(diǎn)和分別在直線和上運(yùn)動(dòng)，且，動(dòng)點(diǎn)滿足：為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)的軌跡記為曲線

   （1）求曲線的方程，并討論曲線的類型；

   （2）過點(diǎn)（0，1）作直線與曲線。交于不同的兩點(diǎn)、，若對(duì)于任意，都有為銳角，求直線的斜率的取值范圍。

Answer 1

(Ⅰ)  當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)，方程表示圓。

   (Ⅱ)  

解析:

（1）甲得是的中點(diǎn)

設(shè)依題意得:

消去，整理得

當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；

當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；

當(dāng)時(shí)，方程表示圓。

（Ⅱ）由，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，直線與曲線恒有兩交點(diǎn)，

因?yàn)橹本�斜率不存在時(shí)不符合題意，

可設(shè)直線的方程為 ，直線與橢圓的交點(diǎn)為

，

要使為銳角，則有

即，可得，對(duì)于任意恒成立

而。

所以滿足條件的的取值范圍是