Question

設(shè)函數(shù)，其中

（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；

（2）求的極值點(diǎn)；

（3）證明對(duì)任意的正整數(shù)，不等式都成立。

 

Answer 1

【答案】

（1）單調(diào)遞增（2）無(wú)極值（3）見(jiàn)解析

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用

（1）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得到導(dǎo)數(shù)符號(hào)與單調(diào)性的關(guān)系的運(yùn)用。

（2）在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上分析得到極值點(diǎn)。

（3）對(duì)于不等式恒成立的證明，主要是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)處理的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用。

解：（1）由題意知，，），

設(shè)，其圖象的對(duì)稱軸為，，

所以

即，上恒成立，

，時(shí)，，

，上單調(diào)遞增。

（2）①由（1）得，函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)；

②時(shí)， 有兩個(gè)相同的解，

，，；，時(shí)，，

，上無(wú)極值；

③時(shí)，：

，      

，，，

：

	，		，
	－	0	+
	減	極小值	增

由此表可知：，有唯一極小值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，所以，，

此時(shí)，：

	，		（，）		，
	+	0	－	0	+
	增	極大植	減	極小值	增

由此表可知：時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)

極小值點(diǎn)

綜上所述，：，有唯一極小值點(diǎn)； 時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)；，無(wú)極值點(diǎn)。

（3）設(shè)，1〕，則不等式化為，

即

設(shè)函數(shù)，則

所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在〔0，1〕上單調(diào)遞增，又

，1〕時(shí)，恒有，即，

因此不等式成立