【題目】如圖所示,∠PAQ是村里一個小湖的一角,其中∠PAQ=60°.為了給村民營造豐富的休閑環(huán)境,村委會決定在直線湖岸AP與AQ上分別建觀光長廊AB與AC,其中AB是寬長廊,造價是800元/米;AC是窄長廊,造價是400元/米;兩段長廊的總造價預(yù)算為12萬元(恰好都用完);同時,在線段BC上靠近點B的三等分點D處建一個表演舞臺,并建水上通道AD(表演舞臺的大小忽略不計),水上通道的造價是600元/米.

(1)若規(guī)劃寬長廊AB與窄長廊AC的長度相等,則水上通道AD的總造價需多少萬元?
(2)如何設(shè)計才能使得水上通道AD的總造價最低?最低總造價是多少萬元?

【答案】
(1)解:設(shè)AB=AC=x(單位:百米),

則寬長廊造價為8x萬元,窄長廊造價為4x萬元,

故兩段長廊的總造價為12x萬元,所以12x=12,得x=1,

又∠PAQ=60°,△ABC是邊長為1的正三角形,

又點D為線段BC上靠近點B的三等分點,所以BD=

在△ABD中,由余弦定理得

AD2=BA2+BD2﹣2BABDcos∠ABD=1+ ﹣2× × = ,即AD=

又水上通道的造價是6萬元/百米,所以水上通道的總造價為2 萬元


(2)解:設(shè)AB=x,AC=y(單位:百米),則兩段長廊的總造價為8x+4y=12,

即2x+y=3,在△ABC中,由余弦定理得:

BC2=AB2+AC2﹣2ABACcos∠BAC=x2+y2﹣2xy =x2+y2﹣xy,

在△ABC與△ABD中,由余弦定理及cos∠ABC=cos∠ABD,得

= ,又BC=3BD,

得AD2= x2+ y2+ xy= x2+ (3﹣2x)2+ x(3﹣2x)= x2 x+1

= (x﹣ 2+ ,當且僅當x= 時,AD有最小值 ,

故總造價有最小值3 萬元,此時y= ,

即當寬長廊AB為 百米(75米)、窄長廊AC為 百米(150米)時,

水上通道AD有最低總造價為3 萬元.


【解析】【(1)設(shè)AB=AC=x(單位:百米),由題意可得12x=12,即x=1,求得BD= ,在△ABD中,由余弦定理求得AD的長,即可得到所求造價;(2)設(shè)AB=x,AC=y(單位:百米),則兩段長廊的總造價為8x+4y=12,即2x+y=3,y=3﹣2x,運用余弦定理求得BC,再在△ABC與△ABD中,由余弦定理及cos∠ABC=cos∠ABD,求得AD2的解析式,化簡整理,運用配方,即可得到所求最小值,及x,y的值.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解基本不等式在最值問題中的應(yīng)用的相關(guān)知識,掌握用基本不等式求最值時(積定和最小,和定積最大),要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”.

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