已知數(shù)列{an}中,a1=1,且點(diǎn)P(an,an+1)(n∈N*)在直線x-y+1=0上.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=
1
anan+2
,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn;
(3)設(shè)bn=
1
an
,Sn
表示數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.試問(wèn):是否存在關(guān)于n的整式g(n),使得S1+S2+S3+…+Sn-1=(Sn-1)•g(n)對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立?若存在,寫(xiě)出g(n)的解析式,并加以證明;若不存在,試說(shuō)明理由.
分析:(1)根據(jù)題中條件點(diǎn)P(an,an+1)(n∈N*)在直線x-y+1=0上,求出an與an+1的關(guān)系,便可求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)將(1)中求得的{an}的通項(xiàng)公式代入其中便可求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式,便可求出數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn的表達(dá)式;
(3)存在,先根據(jù)題意求出Sn的表達(dá)式,然后求出S1+S2+S3+…+Sn-1與(Sn-1)的關(guān)系,便可求出存在g(n)使得S1+S2+S3+…+Sn-1=(Sn-1)•g(n)對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立.
解答:解:(1)由點(diǎn)P(an,an+1)在直線x-y+1=0上,即an+1-an=1,且a1=1,
數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,
∴an=1+(n-1)•1=n(n∈N*
(2)bn=
1
n(n+2)
=
1
2
(
1
n
-
1
n+2
)

Tn=
1
2
((1-
1
3
)+(
1
2
-
1
4
)+(
1
3
-
1
5
)+…+(
1
n
-
1
n+2
))

=
1
2
(1+
1
2
-
1
n+1
-
1
n+2
)=
3
4
-
1
2
(
1
n+1
+
1
n+2
)
;
(3)bn=
1
n
,可得Sn=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
,Sn-Sn-1=
1
n
(n≥2)

即nSn-nSn-1=1
∴nSn-(n-1)Sn-1=Sn-1+1,
nSn-(n-1)Sn-1=Sn-1+1,
(n-1)Sn-1-(n-2)Sn-2=Sn-2+1

2S2-S1=S1+1
nSn-S1=S1+S2+S3+…+Sn-1+n-1,
∴S1+S2+S3+…+Sn-1=nSn-n=n(Sn-1),n≥2,g(n)=n
故存在關(guān)于n的整式g(x)=n,使得對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合,考查了學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)數(shù)列的綜合掌握,解題時(shí)注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)
,則
lim
n→∞
an
=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=
an
1+2an
,則{an}的通項(xiàng)公式an=
1
2n-1
1
2n-1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{
2n
an
}
的前n項(xiàng)和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=
1
2
Sn
為數(shù)列的前n項(xiàng)和,且Sn
1
an
的一個(gè)等比中項(xiàng)為n(n∈N*
),則
lim
n→∞
Sn
=
1
1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,2nan+1=(n+1)an,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為( 。
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

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