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5.已知函數(shù)f(x)=xcosx的定義域?yàn)椋?\frac{π}{2}\frac{π}{2}),當(dāng)|xi|<\frac{π}{2}時(shí)(i=1,2,3),f(x1)+f(x2)≥0,f(x2)+f(x3)≥0,f(x3)+f(x1)≥0,則下列結(jié)論正確的是(  )
A.x1+x2+x3>0B.x1+x2+x3<0C.f(x1+x2+x3)≥0D.f(x1+x2+x3)≤0

分析 由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)得知在x∈(0,\frac{π}{2})是單調(diào)遞增的,再由奇偶性得到在x∈(-\frac{π}{2}\frac{π}{2})上單調(diào)遞增,通過單調(diào)性與奇偶性相結(jié)合得到x1+x2+x3≥0,所以對(duì)應(yīng)的函數(shù)值可以確定.

解答 解:∵函數(shù)f(x)=\frac{x}{cosx}的定義域?yàn)椋?\frac{π}{2},\frac{π}{2}),且f(-x)=-f(x)
∴f(x)為奇函數(shù)
∵f′(x)=\frac{cosx+xsinx}{(cosx)^{2}}
∴f(x)在x∈(0,\frac{π}{2})是單調(diào)遞增的.
∴f(x)在x∈(-\frac{π}{2},\frac{π}{2})上單調(diào)遞增.
∵f(x1)+f(x2)≥0,
∴f(x1)≥-f(x2)≥0,
∴f(x1)≥f(-x2)≥0,
∴x1≥-x2,
同理可得:x2≥-x3,x3≥-x1
∴x1+x2≥0,x2+x3≥0,x3+x1≥0
∴x1+x2+x3≥0,
∴f(x1+x2+x3)≥f(0)=0,
故選C

點(diǎn)評(píng) 本題考查由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)和奇偶性得到單調(diào)性,從而得到x1+x2+x3≥0,所以對(duì)應(yīng)的函數(shù)值可以確定.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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