Question

9、若三角形的三個角成等差級數(shù)，則其中有一個角一定是60°；若這樣的三角形的三邊又成等比級數(shù)，則三個角都是60°，試證明之．

Answer 1

分析：①設(shè)△ABC的三個角為A、B、C，由題意可得2B=A+C，進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和求得B，進(jìn)而可知△ABC必有一個角為60°；
②設(shè)∠B=60°．△ABC的三邊a，b，c成等比級數(shù)，可知b²=ac．進(jìn)而代入余弦定理求得a=c，判斷出此三角形為正三角形．

解答：證①：設(shè)△ABC的三個角為A、B、C，由題意可得
B-A=C-B，
∴2B=A
但∵A+B+C=180°，
即3B=180°，B=60°．
證②：由（1）已知△ABC必有一個角為60°，今設(shè)∠B=60°．
∵△ABC的三邊a，b，c成等比級數(shù)，
∴b²=ac．
又由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB，b²=a²+c²-2ac，
∴a²+c²-2ac=0，（a-c）²=0∴a=c．
∵∠B=60°，BA=BC，
∴∠A=∠C=60°
故△ABC為等邊三角形，即其三個內(nèi)角均為60°．

點評：本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，以及利用余弦定理解三角形問題．