Question

已知{a_n}是等差數(shù)列，其公差d≠0，且a₂是a₁與a₄的等比中項(xiàng)．（1）求a₁與d的關(guān)系式；（2）若{a_n}的部分項(xiàng)依次組成的數(shù)列，，，…，，…是等比數(shù)列，其中k₁=1，k₂=3，試求數(shù)列{k_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

（本小題滿(mǎn)分14分）
解：（1）依題設(shè)a_n=a₁+（n-1）d，a₂²=a₁a₄，得（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），即a₁d=d²，∵d≠0，∴a₁=d； （4分）
（2）由（1）得a_n=nd，聯(lián)系已知得k₁d，k₂d，k₃d，…，k_nd，…是等比數(shù)列．（7分）
由d≠0，知k₁，k₃，k₃，…，k_nd，…，即1，3，k₃，…，k_nd，…也是等比數(shù)列，（10分）
其首項(xiàng)為1，公比為，（12分）
∴數(shù)列{k_n}的通項(xiàng)公式為k_n=3^n-1．（14分）
分析：（1）由a₂²=a₁a₄，得（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），從而可得
（2）由（1）得a_n=nd，由已知得k₁d，k₂d，k₃d，…，k_nd，…是等比數(shù)列，由d≠0，知k₁，k₃，k₃，…，k_nd，…，即1，3，k₃，…，k_nd，…也是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的綜合運(yùn)算，等比數(shù)列通項(xiàng)目、公式的簡(jiǎn)單運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)試題