Question

【題目】已知函數(shù)，其中為常數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)（為自然對數(shù)的底數(shù)），時，若方程有兩個不等實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）

【解析】

（1）分別在和兩種情況下，根據(jù)的正負確定的單調(diào)性；

（2）將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，與有兩個不同交點的問題，通過導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性和最值，進而得到函數(shù)圖象，通過數(shù)形結(jié)合的方式可確定的范圍.

（1）由題意得：定義域為，，

當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，令，解得：，

當(dāng)時，；當(dāng)時，，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）當(dāng)時，有兩個不等實根，方程可化為，

令，則，

令，則，

當(dāng)時，，即<0在上單調(diào)遞減，

，且

在上有且僅有一個零點，

當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

，，

由此可得圖象如下圖所示：

則當(dāng)時，方程有兩個不等實數(shù)根等價于當(dāng)時，與有兩個不同交點，

由圖象可知：.