Question

【題目】在四棱錐中，底面為平行四邊形， ， ， ， 點在底面內(nèi)的射影在線段上，且， ， 為的中點， 在線段上，且．

（Ⅰ）當時，證明：平面平面；

（Ⅱ）當平面與平面所成的二面角的正弦值為時，求四棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）接，作交于點，則四邊形為平行四邊形，在中由余弦定理得，由勾股定理可得，在中， ， 分別是， 的中點，結合中位線及平行的傳遞性可得，故可得平面，由線面平行判定定理可得結論；（Ⅱ）以為坐標原點， ， ， 所在直線分別為軸， 軸， 軸建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量與二面角平面角之間關系可得： ，由棱錐的體積公式可得結果.

試題解析：（Ⅰ）證明：連接，作交于點，則四邊形為平行四邊形，

，在中， ， ， ，由余弦定理得．　

所以，從而有.

在中， ， 分別是， 的中點，

則， ，

因為，所以.

由平面， 平面，

得，又， ，

得平面，又平面，

所以平面平面.

（Ⅱ）以為坐標原點， ， ， 所在直線分別為軸， 軸， 軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則， ， ， ， ， .

平面的一個法向量為.

設平面的法向量為，

由， ，得令，得.

由題意可得， ，

解得，

所以四棱錐的體積.