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5.已知橢圓Cx2a2+y2b2=1ab0的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,上頂點(diǎn)為B,若△BF1F2的周長(zhǎng)為6,且點(diǎn)F1到直線BF2的距離為b.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)A1,A2是橢圓C長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓C上不同于A1,A2的任意一點(diǎn),直線A1P交直線x=14于點(diǎn)M,求證:以MP為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A2

分析 (1)由已知得{2c+2a=62cb=aba2=b2+c2,解得a,b的值,可得橢圓C的方程;
(2)P(x0,y0),可得A2MA2P=0,即以MP為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A2

解答 (本小題滿分14分)
解:(1)由已知得{2c+2a=62cb=aba2=b2+c2,解得{a=2b=3c=1
所以橢圓C的方程為x24+y23=1.…(5分)
證明:(Ⅱ)由題意知A1(-2,0),A2(2,0),…(6分)
設(shè)P(x0,y0),
lA1Py=y0x0+2x+2,得M1416y0x0+2
且由點(diǎn)P在橢圓上,得y02=31x024.…(9分)
所以A2MA2P=1216y0x0+2x02y0=12x02+16y02x0+2
=12x02+124x02x0+2=12x0212x02x0+2x0+2=0…(13分)
以MP為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A2.…(14分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),向量的數(shù)量積運(yùn)算,難度中檔.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2)求證:AC1∥平面CDB1
(3)求二面角A-BC1-C的平面角的正切值.

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17.已知函數(shù)f(x)=ex-2x.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的極值;
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14.兩座燈塔A和B與海洋觀測(cè)站C的距離分別是akm和2akm,燈塔A在觀測(cè)站C的北偏東20°,燈塔B在觀測(cè)站C的南偏東40°,則燈塔A與燈塔B之間的距離為(  )
A.3akmB.2akmC.5akmD.7akm

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15.已知指數(shù)函數(shù)y=g(x)滿足g(3)=8,又定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R的函數(shù)f(x)=1gx1+gx是奇函數(shù).
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