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【題目】已知橢圓的離心率為，且過點.

（I）求橢圓的標準方程；

（II）四邊形ABCD的頂點在橢圓上，且對角線AC，BD過原點O，設，滿足.

（i）試證的值為定值，并求出此定值；

（ii）試求四邊形ABCD面積的最大值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）(i)為定值0；(ii)最大值為4．

【解析】

試題（Ⅰ）利用待定系數法進行求解；（Ⅱ）聯立直線與橢圓的方程，整理成關于的一元二次方程，利用得出定值；利用弦長公式求弦長，即三角形的底邊，再利用點到直線的距離公式求其高，進而得出面積，理基本不等式求其最值.

試題解析：（Ⅰ）由題意，，又，

解得,

橢圓的標準方程為.

（Ⅱ） (i) 直線AB的斜率不存在（或AB的斜率為0）時不滿足

設直線AB的方程為，設

聯立，得

(*)

整理得

所以為定值0.

(ii) 由(i),不妨取,則

設原點到直線AB的距離為d，則

當時(滿足(*)式)取等號.

.

即四邊形ABCD的面積的最大值為4.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖,在四棱錐中,四邊形是矩形,平面平面, 為中點.

（Ⅰ）求證: 平面;

（Ⅱ）.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，，面積是面積的兩倍，點在側棱上.

（1）若，證明：平面平面；

（2）若二面角的大小為，且為的中點，求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】2018年，依托用戶碎片化時間的娛樂需求、分享需求以及視頻態(tài)的信息負載力，短視頻快速崛起；與此同時，移動閱讀方興未艾，從側面反應了人們對精神富足的一種追求，在習慣了大眾娛樂所帶來的短暫愉悅后，部分用戶依舊對有著傳統(tǒng)文學底蘊的嚴肅閱讀青睞有加．

某讀書APP抽樣調查了非一線城市M和一線城市N各100名用戶的日使用時長（單位：分鐘），繪制成頻率分布直方圖如下，其中日使用時長不低于60分鐘的用戶記為“活躍用戶”．

（1）請?zhí)顚懸韵?/span>列聯表，并判斷是否有99．5%的把握認為用戶活躍與否與所在城市有關？

活躍用戶

不活躍用戶

合計

城市M

城市N

合計

（2）以頻率估計概率，從城市M中任選2名用戶，從城市N中任選1名用戶，設這3名用戶中活躍用戶的人數為，求的分布列和數學期望．

（3）該讀書APP還統(tǒng)計了2018年4個季度的用戶使用時長y（單位：百萬小時），發(fā)現y與季度（）線性相關，得到回歸直線為，已知這4個季度的用戶平均使用時長為12.3百萬小時，試以此回歸方程估計2019年第一季度（）該讀書APP用戶使用時長約為多少百萬小時．

附：，其中．

0.025

0.010

0.005

0.001

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，H為PC的中點，M為AH中點，PA=AC=2，BC=1．

（Ⅰ）求證：AH⊥平面PBC；

（Ⅱ）求PM與平面AHB成角的正弦值；

(Ⅲ)在線段PB上是否存在點N，使得MN∥平面ABC，若存在，請說明點N的位置，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為（）．點在上，，△的周長為，面積為．

（1）求的方程；

（2）過的直線與交于兩點，以為直徑的圓與直線相切，求直線的方程．

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【題目】已知拋物線 ，其焦點到準線的距離為2，直線與拋物線交于，兩點，過，分別作拋物線的切線，，與交于點.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求面積的最小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，是正三角形，四邊形是菱形，點是的中點.

（I）求證：// 平面；

（II）若平面平面，， 求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高二丈，問：積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊狀的鍥體，下底面寬3丈，長4丈，上棱長2丈，高2丈，問：它的體積是多少？”（已知1丈為10尺）該鍥體的三視圖如圖所示，則該鍥體的體積為（ ）

A. 12000立方尺B. 11000立方尺

C. 10000立方尺D. 9000立方尺

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