已知雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)的右焦點為F,過F且斜率為
3
的直線交C于A、B兩點,若
AF
=4
FB
,則雙曲線C的離心率為______.
∵直線AB過點F(c,0),且斜率為
3

∴直線AB的方程為y=
3
(x-c)
與雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1
消去x,得(
1
3
b2
-a2)y2+
2
3
3
b2cy+b4=0
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
∴y1+y2=
2
3
b2c
3a2-b2
,y1y2=
-3b4
3a2-b2

AF
=4
FB
,可得y1=-4y2
∴代入上式得-3y2=
2
3
b2c
3a2-b2
,-4y22=
-3b4
3a2-b2

消去y2并化簡整理,得
4
3
c2=
3
4
(3a2-b2)

將b2=c2-a2代入化簡,得c2=
36
25
a2
,解之得c=
6
5
a

因此,該雙曲線的離心率e=
c
a
=
6
5

故答案為:
6
5

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知雙曲線與橢圓
x2
27
+
y2
36
=1有相同焦點,且經(jīng)過點(
15
,4).
(1)求橢圓的焦點坐標(biāo)及離心率;
(2)求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

若雙曲線的焦點為F1(-4,0),F(xiàn)2(4,0),實軸長與虛軸長相等,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知雙曲線
x2
4
-
y2
9
=1
,F(xiàn)1,F(xiàn)2是其兩個焦點,點M在雙曲線上,若∠F1MF2=120°,則△F1MF2的面積為______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

雙曲線
x2
4
-
y2
k
=1
的離心率e∈(1,2),則k的取值范圍是______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

過雙曲線2x2-y2-2=0的右焦點作直線l交曲線于A、B兩點,若|AB|=2則這樣的直線存在(  )
A.0條B.1條C.2條D.3條

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±2x,則其離心率為( 。
A.5B.
5
2
C.
3
D.
5

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

如圖,F(xiàn)1,F(xiàn)2是雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的左、右焦點,過F1的直線l與C的左、右分支分別交于A,B兩點.若AB:BF2:AF2=3:4:5,則雙曲線的離心率為______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

當(dāng)m∈[-2,-1]時,二次曲線
x2
4
+
y2
m
=1
的離心率e的取值范圍是( 。
A.[
2
2
,
3
2
]
B.[
3
2
,
5
2
]
C.[
5
2
6
2
]
D.[
3
2
,
6
2
]

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同步練習(xí)冊答案