Question

如圖，正方形ABCD和直角梯形ABMN所在平面相互垂直，AN∥BM，∠ABM=90°，AN=AD=為MC中點．
（1）證明NP∥面ABCD；
（II）證明：MN⊥NC；
（III）求三棱錐M-BPN的體積．

Answer 1

解：（I）證明：取BC中點Q，P是MC的中點，連接PQ，AQ．
所以PQ∥BM，AN∥BM，且PQ=AN．
所以四邊形ANPQ為平行四邊形．
所以NP∥AQ． （4分）
又因為AQ?平面ABCD，且NP?平面ABCD，
所以NP∥平面ABCD． （4分）
（II）證明：在正方形BCD中，CB⊥AB．
又因為平面ABMN⊥平面ABCD，所以CB⊥平面ABMN．
所以CB⊥MN． （6分）
在直角梯形ABMN中，AN=AB=1，可得NB=MN=AB，
所以BN²+MN²=MB²．
所以MN⊥NB．
所以MN⊥平面BNC，
所以MN⊥NC． （8分）
（III）取MB的中點，連接PE，則PE∥BC，又BC∥AD，AD⊥面ABMN，
所以BC⊥面ABMN，∴PE⊥面ABMN，
∴PE即為三棱錐M-PBN的高，且PE=BC=•
∴V_M-BPN=S_△BPN•PE=×=•（12分）
分析：（I）取BC中點Q，連接PQ，AQ，證明NP∥AQ．說明AQ?平面ABCD，且NP?平面ABCD，即可證明NP∥平面ABCD；
（II）先證明CB⊥MN，由勾股定理得出MN⊥NB，即可證明MN⊥平面BNC，從而有MN⊥NC；
（III）取MB的中點，連接PE，先證得PE即為三棱錐M-PBN的高，再求出底面的面積、高，即可求三棱錐的體積．
點評：本題是中檔題，考查直線與平面的平行與垂直的證明方法，幾何體的體積的解法，考查空間想象能力、計算能力，注意轉化思想的應用，判定定理的正確應用．