Question

如圖，DC垂直平面ABC，∠BAC=90°，AC=

1

2

BC=kCD，點E在BD上，且BE=3ED．
（1）求證：AE⊥BC；
（2）若二面角B-AE-C的大小為120°，求k的值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）過E點作EF⊥BC與點F，連AF，由已知條件得EF∥DC，從而EF⊥平面ABC，進而EF⊥BC，又AF⊥BC，由此能證明BC⊥AE．
（2）法一（空間向量法）以F為原點，FA為x軸，FC為y軸，FE為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出k的值．
法二：（綜合幾何法）過F作FG⊥AE于G點，連GC，GB，由AE⊥BC，得AE⊥平面BCG，所以AE⊥CG，AE⊥BG，所以∠BGC為B-AE-C的平面角，由此能求出能求出k的值．

解答： （Ⅰ）證明：過E點作EF⊥BC與點F，
連AF，由已知條件得EF∥DC
所以EF⊥平面ABC，又BC?平面ABC，所以EF⊥BC；
又∠BAC=90°，AC=

1

2

BC，所以∠ABF=30°，
所以AB=

3

2

BC，

BE

BD

=

BF

BC

=

3

4

，BF=

3

4

BC，
所以

BF

AB

=

AB

BC

=

3

2

，所以△BAF與△BCA相似，所以∠BFA=90°，即AF⊥BC，
又AF∩EF=F，于是BC⊥平面AEF，又AE?平面AEF，
所以BC⊥AE．
（2）解法一（空間向量法）
如圖，以F為原點，FA為x軸，FC為y軸，FE為z軸，
建立空間直角坐標系，
則A(

3

2

，0，0)，B(0，-

3

2

，0)，C(0，

1

2

，0)，E(0，0，

3

4k

)，
于是

AE

=（-

3

2

，0，

3

4k

），

AC

=（-

3

2

，

1

2

，0），

AB

=（-

3

2

，-

3

2

，0），
設平面ABE的法向量為

n1

=（x₁，y₁，z₁），
則

AB • n1 =- 3 2 x1- 3 2 y1=0 AE • n1 =- 3 2 x1+ 3 4k z1=0

，令z₁=1，得

n1

=（

3

2k

，-

1

2k

，1）．
設平面ACE的法向量為

n2

=（x₂，y₂，z₂），
則

AC • n2 =- 3 2 x2+ 1 2 y2=0 AE • n2 =- 3 2 x2+ 3 4k z2=0

，令z₂=1，得

n2

=（

3

2k

，

3

2k

，1），|cos120°|=

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

1

3 k2 +1 • 1 k2 +1

，解得：k=

2+ 13 3

．
解法二：（綜合幾何法）
過F作FG⊥AE于G點，連GC，GB，
由AE⊥BC，得AE⊥平面BCG，所以AE⊥CG，AE⊥BG，
所以∠BGC為B-AE-C的平面角，
設AC=1，則AF=

3

2

，EF=

3

4k

，所以GF=

3

2 3+4k2

，
于是GB=3

1+k2 3+4k2

，GC=

3+k2 3+4k2

，
于是由cos120°=

BG2+CG2-BC2

2BG•CG

，得到k=

2+ 13 3

．

點評：本題主要考查空間線面關系、幾何體的體積等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．