Question

已知函數(shù)f（x）對任意實(shí)數(shù)x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞0時，f（x）＜0，又f（1）=-2
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）判斷f（x）在R上的單調(diào)性；
（3）求f（x）在區(qū)間[-3，3]上的值域；
（4）若任意x∈R，不等式f（ax²）-2f（x）＜f（x）+4恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）可根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行證明，應(yīng)由條件先得到f（0）=0后，再利用條件f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）中x₁、x₂的任意性，可使結(jié)論得證．
（2）可根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行論證，考慮證明過程中如何利用題設(shè)條件．
（3）由（2）的結(jié)論可知f（-3）、f（3）分別是函數(shù)y=f（x）在[-3，3]上的最大值與最小值，可得所求值域．
（4）根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性可把f（ax²）+2f（-x）＜f（x）+f（-2）轉(zhuǎn)化為具體不等式恒成立，利用數(shù)形結(jié)合即可得到關(guān)于a的限制條件，解出即可

解答： 解：（1）f（x）為奇函數(shù)，
由f（x+y）=f（x）+f（y），得f（x-x）=f（x）+f（-x）
即f（x）+f（-x）=f（0），而令x=y=0可得f（0）=0
∴f（-x）=-f（x），即函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)
（2）f（x）在R上單調(diào)遞減，
任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]，
于是由題設(shè)條件f（x+y）=f（x）+f（y）可知f（x₂）=f（x₁）+f（x₂-x₁）．
∵x₂＞x₁，
∴x₂-x₁＞0．
∴f（x₂-x₁）＜0．
∴f（x₂）=f（x₁）+f（x₂-x₁）＜f（x₁）．
故函數(shù)y=f（x）是單調(diào)減函數(shù)．
（3）由函數(shù)y=f（x）是R上的單調(diào)減函數(shù)，
∴y=f（x）在[-3，3]上也為單調(diào)減函數(shù)．
∴y=f（x）在[-3，3]上的最大值為f（-3），最小值為f（3）．
∴f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=3f（1）=-6．
∴f（-3）=-f（3）=6
因此，函數(shù)y=f（x）在[-3，3]上的值域?yàn)閇-6，6]．
（4）令x=1，y=1得f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）=-2-2=-4，
∵f（ax²）-2f（x）＜f（x）+4，
∴f（ax²）-4＜2f（x）+f（x），
∴f（ax²）+f（2）＜f（3x），
∴f（ax²+2）＜f（3x），
又函數(shù)y=f（x）是R上的單調(diào)減函數(shù)，
∴ax²+2＞3x，
即ax²-3x+2＞0恒成立，
①當(dāng)a=0時不成立，
②當(dāng)a≠0時，有a＞0且△＜0，即

a＞0 9-8a＜0

解得a＞

9

8

，
故a的取值范圍為（

9

8

，+∞）

點(diǎn)評：本題考查抽象函數(shù) 的奇偶性、單調(diào)性及其應(yīng)用，考查函數(shù)恒成立問題，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，屬中檔題．