證明y=f (x)是奇函數(shù)的充要條件是y=f (x)的圖像關于原點對稱．

 

答案：
解析：

充分性：如果y=f (x)的圖像關于原點對稱，那么y=f (x)是奇函數(shù)．在y=f (x)圖像上任取一點P(x，f (x))，因為y=f (x)圖像關于原點對稱，所以P點關于原點的對稱點(－x，－f (x))必在y=f (x)圖像上．即坐標可寫成(－x， f (－x))而為同一點，所以f (－x)=－f (x)．所以f (x)是奇函數(shù)．

必要性：如果y=f (x)是奇函數(shù)，那么y=f (x)的圖像關于原點對稱．

在y=f (x)圖像上任取一點M (x，f (x))，則M關于原點的對稱點為(－x，－f (x))．∵ f (x)是奇函數(shù)，∴ －f (x)=f (－x) ．∴ (－x，f (－x))．即也在y=f (x)圖像上．所以g=f (x)圖像關于原點對稱．

 


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：044

證明y=f (x)是奇函數(shù)的充要條件是y=f (x)的圖像關于原點對稱．

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設y=f(x)是定義在區(qū)間［-1,1］上的函數(shù),且滿足條件:

①f(-1)=f(1)=0;

②對任意u,v∈［-1,1］都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|.

(1)證明對任意的x∈［-1,1］,都有x-1≤f(x)≤1-x;

(2)證明對任意的u,v∈［-1,1］,都有|f(u)-f(v)|≤1;

(3)在區(qū)間［-1,1］上是否存在滿足條件的奇函數(shù)y=f(x),且使得

若存在,請舉一例;若不存在,請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)y=f(x)的定義域為R，且對任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)，且當x＞0時，f(x)＜0恒成立，f(3)=-3.

(1)證明：函數(shù)y=f(x)是R上的減函數(shù)；

（2）證明：函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)；

（3）試求函數(shù)y=f(x)在［m,n］（m,n∈Z）上的值域.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)y=f(x)的定義域為R，且對任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)，且當x＞0時，f(x)＜0恒成立，f(3)=-3.

(1)證明：函數(shù)y=f(x)是R上的減函數(shù)；

（2）證明：函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)；

（3）試求函數(shù)y=f(x)在［m,n］（m,n∈Z）上的值域.

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