Question

已知數列{b_n}中，，，數列{a_n}滿足：．
（1）求a₁，a₂；
（2）求證：a_n+1+2a_n+1=0；
（3）求數列{a_n}的通項公式；
（4）求證：（-1）b₁+（-1）²b₂+…+（-1）ⁿb_n＜1（n∈N^*）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據，求得，從而；
（2）將代入得到：即可證得：a_n+1+2a_n+1=0；
（3）由（2）所得結論變形得到：從而得出數列是以-2為首項，公比為-2的等比數列，最后利用等比數列的通項公式即可求出數列{a_n}的通項公式；
（4）由（3）得出數列{a_n}的通項公式寫出數列bn，下面對n進行奇偶數討論：①當n為偶數時②當n為奇數時，分別利用等比數列的前n項結合不等式的放縮即可得到證明．
解答：解：（1）∵∴∴…（3分）
（2）證明：∵∴a_n+1+2a_n+1=0…（5分）
（3）∵a_n+1=-2a_n-1∴…（6分）
又 ∴數列是以-2為首項，公比為-2的等比數列…（7分）
∴∴…（8分）
（4）∴
當n為奇數時（-1）ⁿb_n+（-1）ⁿ⁺¹b_n+1==，
①當n為偶數時，（-1）b₁+（-1）²b₂+…+（-1）ⁿb_n，
②當n為奇數時，（-1）b₁+（-1）²b₂+…+（-1）ⁿb_n=…（11分）
綜上所述：（-1）b₁+（-1）²b₂+…+（-1）ⁿb_n＜1…（12分）
點評：本小題主要考查數列遞推式、數列與不等式的綜合、不等式的性質等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．