Question

記S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且S_n+a_n=2n+1（n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{a_n-2}是等比數(shù)列；
（2）求和：S₁+S₂+…+S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由數(shù)列遞推式S_n+a_n=2n+1得到S_n-1+a_n-1=2n-1（n≥2），兩式作差后，即可證明數(shù)列{a_n-2}是等比數(shù)列；
（2）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得通項(xiàng)，再分組求和即可．

解答： （1）證明：由S_n+a_n=2n+1①
得S_n-1+a_n-1=2n-1（n≥2）②
①-②得：2a_n-a_n-1=2，
∴a_n-2=

1

2

（a_n-1-2）
n=1時(shí)，S₁+a₁=3，∴a₁=

3

2

，
∴數(shù)列{a_n-2}是以

1

2

為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列；
（2）解：由（1）知，a_n-2=

1

2

•(

1

2

)n-1，
∴a_n=2-

1

2n

，
∴S_n=

1

2n

+2n-1，
∴S₁+S₂+…+S_n=（

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

）+2（1+2+…+n）-n=1-

1

2n

+n²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推式，考查了a_n=pa_n-1+q型遞推式的通項(xiàng)公式的求法，關(guān)鍵是構(gòu)造出新的等比數(shù)列，是中檔題．