Question

已知函數(shù)f(x)=x+

t

x

(t＞0)和點(diǎn)P（1，0），過點(diǎn)P作曲線y=f（x）的兩條切線PM，PN，切點(diǎn)分別為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
（1）求證：x₁，x₂是關(guān)于x的方程x²+2tx-t=0的兩根；
（2）設(shè)|MN|=g（t），求函數(shù)g（t）；
（3）在（2）的條件下，若在區(qū)間[2，16]內(nèi)總存在m+1個(gè)實(shí)數(shù)a₁，a₂，…，a_m+1，使得不等式g（a₁）+g（a₂）+…+g（a_m）＜g（a_m+1）成立，求實(shí)數(shù)m的最大值．

Answer 1

分析：（1）用導(dǎo)數(shù)值與切線的斜率相等，求出切點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系，判斷是方程x²+2tx-t=0的兩根即可；
（2）求過切點(diǎn)的切線方程，找出兩切點(diǎn)關(guān)系，再利用兩點(diǎn)間的距離公式求解即可；
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為恒成立問題．

解答：解：（1）函數(shù)f(x)=x+

t

x

(t＞0)可得f′（x）=1-

t

x2

，切點(diǎn)（x，x+

t

x

），所以

x+ t x

x-1

=1-

t

x2

，
可得x²+2tx-t=0，顯然方程的兩個(gè)根就是切點(diǎn)分別為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）的橫坐標(biāo)，
所以x₁，x₂是關(guān)于x的方程x²+2tx-t=0的兩根；
（2）因?yàn)镸、N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂，
又f′（x）=1-

t

x2

，∴切線PM的方程為：y-（x1+

t

x1

）=（1-

t

x 2 1

）（x-x₁）．
又∵切線PM過點(diǎn)P（1，0），∴有0-（x1+

t

x1

）=（1-

t

x 2 1

）（1-x₁）．
即x₁²+2tx₁-t=0．（1）
同理，由切線PN也過點(diǎn)（1，0），得x₂²+2tx₂-t=0．（2）
由（1）、（2），可得x₁，x₂是方程x²+2tx-t=0的兩根，
∴

x1+x2=-2t x1•x2=-t

   （*）
|MN|=

(x1-x2)2+(x1+ t x1  -x2- t x2  )2

=

(x1-x2)2[1+(1- t x1x2  )2]

=

[(x1+x2)2-4x1x2][1+(1- t x1x2  )2]

把（*）式代入，得|MN|=2

5t2+5t

，
因此，函數(shù)g（t）的表達(dá)式為g（t）=2

5t2+5t

（t＞0）
（3）易知g（t）在區(qū)間[2，16]上為增函數(shù)，
∴g（2）≤g（a_i）（i=1，2，m+1）．
則m•g（2）≤g（a₁）+g（a₂）+…+g（a_m）．
∵g（a₁）+g（a₂）+…+g（a_m）＜g（a_m+1）對(duì)一切正整數(shù)n成立，
∴不等式m•g（2）＜g（16）對(duì)一切的正整數(shù)n恒成立m2

5×4+5×2

＜2

5×162+5×16

，
即m＜

85×16 30

=

80 3

對(duì)一切的正整數(shù)n恒成立
由于m為正整數(shù)，∴m≤6．又當(dāng)m=6時(shí)，存在a₁=a₂=a_m=2，a_m+1=16，對(duì)所有的n滿足條件．
因此，m的最大值為6．

點(diǎn)評(píng)：本題第一問比較基礎(chǔ)，二三問比較復(fù)雜，考切線問題，和數(shù)列問題，又滲透了恒成立思想，此題比較新，雖是壓軸題但并不像以往壓軸題的思路，有突破有創(chuàng)新，仔細(xì)審題是解題的關(guān)鍵．