Question

6．已知點A（0，3），若圓C：（x-a）²+（y-2a+4）²=1上存在點M，使|MA|=2|MO|，則圓心C的橫坐標a的取值范圍為[0，$\frac{12}{5}$]．

Answer 1

分析 由圓的方程求出圓心坐標，設出M坐標，由|MA|=2|MO|求得M的軌跡，再由兩圓相交得到圓心距與半徑的關(guān)系，求解不等式組得答案．

解答 解：由C：（x-a）²+（y-2a+4）²=1，得圓心C（a，2a-4），
設M（x，y），
∵|MA|=2|MO|，
∴$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}=2\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
得x²+y²+2y-3=0，即x²+（y+1）²=4．
∴點M在以D（0，-1）為圓心，以2為半徑的圓上，
則圓C與圓D有公共點，滿足2-1≤CD≤2+1，
即1$≤\sqrt{{a}^{2}+（2a-3）^{2}}≤3$，
即$\left\{\begin{array}{l}{5{a}^{2}-12a+8≥0}\\{5{a}^{2}-12a≤0}\end{array}\right.$，解得0$≤a≤\frac{12}{5}$．
故答案為：[0，$\frac{12}{5}$]．

點評 本題考查圓的標準方程，考查了兩圓間位置關(guān)系的應用，體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，考查不等式組的解法，是中檔題．